정삼각형 속 삼각형 보기

$\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \mathit{a}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = \mathit{b}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{CR}} = \mathit{1} - a - b$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \mathit{1} - a$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AR}} = \mathit{a} + b$이다. ㄱ. 삼각형 $\mathrm{APR}$에서 코사인 법칙에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} ^{2}$$\displaystyle = a ^{2} 6 ( a + b ) ^{2} - 2 \times a \times ( a + b ) \times \cos \frac{\pi}{3}$$= a ^{2} + ab + b ^{2}$ 삼각형 $\mathrm{PBQ}$에서 코사인 법칙에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2}$$\displaystyle = b ^{2} + ( 1 - a ) ^{2} - 2 \times b \times ( 1 - a ) \times \cos \frac{\pi}{3}$ $= a ^{2} + ab - 2 a + b ^{2} - b + 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} ^{2} = {\overline{PQ}} ^{2}$이므로 $a ^{2} + ab + b ^{2} = a ^{2} + ab - 2 a + b ^{2} - b + 1$에서 $2 a + b = 1$ $\cdots \cdots$ ㉡ 그러므로 $\displaystyle \mathrm{2} {\overline{AP}} + {\overline{BQ}} = 1$에서 $\displaystyle \mathrm{4} {\overline{AP}} + 2 {\overline{BQ}} = 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} > 0$이므로 $\displaystyle \mathrm{3} {\overline{AP}} + 2 {\overline{BQ}} < 2$ (거짓) ㄴ. ㉡에서 $b = 1 - 2 a$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} = \mathit{1} - b = 1 - ( 1 - 2 a ) = 2 a$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CR}} = \mathit{a} - a - ( 1 - 2 a ) = a$ 삼각형 $\mathrm{CRQ}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} : {\overline{CR}} = 2 : 1$이고 $\displaystyle \mathrm{\angle} RCQ = \frac{\pi}{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{CRQ}$는 $\displaystyle \mathrm{\angle} QRC = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} = \sqrt{{\overline{CQ}} ^{2} - {\overline{CR}} ^{2}} = \mathit{\sqrt{3}} a$ (참) ㄷ. 두 삼각형 $\mathrm{PBQ}$, $\mathrm{CRQ}$의 외접원의 반지름의 길이를 각각 $R _{1} , R _{2}$라 하면 삼각형 $\mathrm{PBQ}$에서 사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{PQ}}}{\sin \frac{\pi}{3}} = 2 R _{1}$ 삼각형 $\mathrm{CRQ}$에서 사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{QR}}}{\sin \frac{\pi}{3}} = 2 R _{2}$ 삼각형 $\mathrm{PBQ}$의 외접원의 넓이가 삼각형 $\mathrm{CRQ}$의 외접원의 넓이의 $2$배이므로 $\displaystyle R _{1} = \sqrt{2} \times R _{2}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{PQ}}}{2 \sin \frac{\pi}{3}} = \sqrt{2} \times \frac{\mathrm{\overline{QR}}}{2 \sin \frac{\pi}{3}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} = 2 \times {\overline{QR}} ^{2}$ ㉠, ㉡에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} = \mathit{3} a ^{2} - 3 a + 1$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} ^{2} = \mathit{3} a ^{2}$이므로 $3 a ^{2} - 3 a + 1 = 6 a ^{2}$, $3 a ^{2} + 3 a - 1 = 0$ $\displaystyle a = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6}$ $a > 0$이므로 $\displaystyle a = \frac{\sqrt{21} - 3}{6}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ