미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정삼각형 넓이 무한급수

문제

한 변의 길이가 22인 정삼각형에 내접원을 그리고, 정삼각형의 두 변과 내접원에 접하는 세 원을 그린다. 이 세 원의 중심을 잇는 정삼각형을 그린다. 새로 얻은 정삼각형을 A1\mathrm{A} _{1}, 그 넓이를 S1S _{1}이라 하자 ([그림 11] 참조). A1\mathrm{A} _{1}에 밑줄 친 과정을 시행하여 두 번째 얻은 정삼각형을 A2\mathrm{A} _{2}, 그 넓이를 S2S _{2}라 하자 ([그림 22] 참조). A2\mathrm{A} _{2}에 밑줄 친 과정을 시행하여 세 번째 얻은 정삼각형을 A3\mathrm{A} _{3}, 그 넓이를 S3S _{3}라 하자([그림 33] 참조). 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 정삼각형을 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}, 그 넓이를 SnS _{\mathit{n}}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{\mathit{n}}의 값은? [4점]

A1\mathrm{A} _{1} 22 [그림 11]
A2\mathrm{A} _{2} [그림 22]A3\mathrm{A} _{3} [그림 33]

[그림 11]

[그림 22]

[그림 33]

①123\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{3}②233\displaystyle \frac{2}{3} \sqrt{3}③343\displaystyle \frac{3}{4} \sqrt{3}④453\displaystyle \frac{4}{5} \sqrt{3}⑤563\displaystyle \frac{5}{6} \sqrt{3}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 무한등비급수의 규칙성 추론하기 한 변의 길이가 aa인 정삼각형의 높이와 넓이는 각각 32a\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} a, 34a2\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} a ^{2}이므로, 한 변의 길이가 22인 정삼각형의 높이는 3\displaystyle \sqrt{3}이고 넓이는 3\displaystyle \sqrt{3}이다. 삼각형 A1\mathrm{A} _{1}의 높이는 내접원의 지름과 같으므로 내접원의 반지름을 rr라 하면, 12(2+2+2)r=3\displaystyle \frac{1}{2} \left( 2 + 2 + 2 \right) r = \sqrt{3}이므로 r=33\displaystyle r = \frac{\sqrt{3}}{3}이고 내접원의 지름은 233\displaystyle \frac{2}{3} \sqrt{3}이다. 삼각형의 한 변의 높이가 23\displaystyle \frac{2}{3}배만큼 축소되므로 넓이는 (23)2\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{2}배만큼 축소된다. 삼각형 A1\mathrm{A} _{1}의 한 변의 길이는 43\displaystyle \frac{4}{3}이므로 S1=493\displaystyle S _{1} = \frac{4}{9} \sqrt{3}이고 공비가 49\displaystyle \frac{4}{9}인 무한등비급수이다. ∴\therefore∑n=1∞Sn=4931−49=453\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\frac{4}{9} \sqrt{3}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{4}{5} \sqrt{3}

태그

#무한등비급수#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로