미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정삼각형 넓이 무한급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 11인 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 선분 BC\mathrm{BC}의 삼등분 점을 A1\mathrm{A} _{1}, A2\mathrm{A} _{2}라 하고 선분 BA1\mathrm{BA} _{1}, A1A2\mathrm{A} _{1} A _{2}, A2C\mathrm{A} _{2} C를 각각 한 변으로 하는 정삼각형 B1BA1\mathrm{B} _{1} BA _{1},P1A1A2\mathrm{P} _{1} A _{1} A _{2}, C1A2C\mathrm{C} _{1} A _{2} C를 만든다. 다시 삼각형 AB1C1\mathrm{AB} _{1} C _{1}에서 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}의 삼등분 점을 A3\mathrm{A} _{3}, A4\mathrm{A} _{4}라 하고 같은 방법으로 세 정삼각형 B2B1A3\mathrm{B} _{2} B _{1} A _{3}, P2A3A4\mathrm{P} _{2} A _{3} A _{4}, C2A4C1\mathrm{C} _{2} A _{4} C _{1}을 만든다. 이와 같은 방법으로 계속하여 삼각형을 만들어 나갈 때, 어두운 부분의 넓이의 합은? [4점]

①310\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{10}②38\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}③3320\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{20}④36\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}⑤3316\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{16}

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③

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해설

정삼각형 B1BA1\mathrm{B} _{1} B A _{1}을 S1S _{1}, 정삼각형 B2B1A3\mathrm{B} _{2} B _{1} A _{3}을 S2S _{2}라 하면 정삼각형 S1S _{1}의 한 변의 길이는 13\displaystyle \frac{1}{3}이므로 S1S _{1}의 넓이는 336\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{36}이다. 또, 정삼각형 S1S _{1}의 한 변의 길이의 22배가 정삼각형 S2S _{2}의 한 변의 길이의 33배와 일치하므로 S1,S2S _{1} , S _{2}의 닮음비는 3:23 : 2이고, S1,S2S _{1} , S _{2}의 넓이의 비는 9:49 : 4이다. 따라서 구하는 넓이는 첫째항이 336×3\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{36} \times 3, 공비가 49\displaystyle \frac{4}{9}인 무한등비급수의 합이므로 336×31−49=3320\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{36} \times 3}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{3 \sqrt{3}}{20}

태그

#무한등비급수#닮음비#도형

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