미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정삼각형 넓이 급수

문제

그림과 같이 직선 x=nx = n(n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots)이 지수함수 y=(12)x\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}의 그래프 및 xx축과 만나는 점을 각각 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}, Hn\mathrm{H} _{\mathit{n}}이라 하자. 선분 AnHn\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{H} _{\mathit{n}}을 높이로 하는 정삼각형의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn=a\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = a이다. 1a2\displaystyle \frac{1}{a ^{2}}의 값을 구하시오. [4점]

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27

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해설

선분 AnHn\mathrm{A} \mathit{_{n}} \mathrm{H} \mathit{_{n}}의 길이는 (12)n\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}이므로 Sn=33(14)n\displaystyle S _{n} = \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{1}{4} \right) ^{n} a=∑n=1∞Sn=39\displaystyle a = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\sqrt{3}}{9}이므로 1a2=27\displaystyle \frac{1}{a ^{2}} = 27이다.

태그

#무한등비급수#지수함수

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