정삼각형 내적 최대

[출제의도] 평면벡터의 내적의 성질을 활용하여 문제 해결하기

$\displaystyle {\vec{\mathrm{OD}}} = \frac{3 {\vec{\mathrm{OB}}} - {\vec{\mathrm{OC}}}}{3 - 1}$이므로 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{CB}$를 $3 : 1$로 외분하는 점이다. 선분 $\mathrm{DA}$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{G}$라 하면 $\left| 2 {\vec{\mathrm{PA}}} + {\vec{\mathrm{PD}}} \right| = 3 \left| {\vec{\mathrm{PG}}} \right|$이므로 선분 $\mathrm{PG}$의 길이가 최소일 때 $\left| 2 {\vec{\mathrm{PA}}} + {\vec{\mathrm{PD}}} \right|$가 최소이다. 그러므로 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{G}$에서 선분 $\mathrm{CD}$에 내린 수선의 발이다. 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DH}}} = 6$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QH}}} = \frac{1}{3} {\overline{DH}} = 2$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = 3 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QA}}} = \sqrt{2 ^{2} + \left( 3 \sqrt{3} \right) ^{2}} = \sqrt{31}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = \frac{2}{3} \times 3 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ 정삼각형은 무게중심과 외심이 같으므로 점 $\mathrm{R}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원 위의 점이다. $\mathrm{\vec{QA}} \bullet {\vec{QR}}$$= {\vec{\mathrm{QA}}} \bullet \left( {\vec{QO}} + {\vec{OR}} \right)$$= \left( {\vec{\mathrm{QA}}} \bullet {\vec{\mathrm{QO}}} \right) + \left( {\vec{\mathrm{QA}}} \bullet {\vec{\mathrm{OR}}} \right)$ 두 벡터 ${\vec{\mathrm{QA}}}$, $\mathrm{\vec{QO}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta _{1}$$\left( 0 \leq \theta _{1} \leq \pi \right)$라 하자. $\mathrm{\vec{QA}} \bullet {\vec{QO}}$$= \left| {\vec{\mathrm{QA}}} \right| \left| {\vec{QO}} \right| \cos \theta _{1}$ 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{QA}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하자. 두 삼각형 $\mathrm{AIO}$, $\mathrm{AHQ}$가 서로 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AI}}} \mathit{:} \mathrm{\overline{AH}} = {\overline{\mathrm{OA}}} : {\overline{\mathrm{QA}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AI}}} \mathit{:} 3 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} : \sqrt{31}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AI}}} = \frac{18}{\sqrt{31}} = \frac{18 \sqrt{31}}{31}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QI}} = {\overline{QA}} - {\overline{AI}}$$\displaystyle = \sqrt{31} - \frac{18 \sqrt{31}}{31}$$\displaystyle = \frac{13 \sqrt{31}}{31}$ $\mathrm{\vec{QA}} \bullet {\vec{QO}}$$= \left| {\vec{\mathrm{QA}}} \right| \left| {\vec{QO}} \right| \cos \theta _{1}$ $= \left| {\vec{\mathrm{QA}}} \right| \left| {\vec{\mathrm{QI}}} \right|$$\displaystyle = \sqrt{31} \times \frac{13 \sqrt{31}}{31} = 13$ 두 벡터 $\mathrm{\vec{QA}}$, $\mathrm{\vec{OR}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta _{2}$$\left( 0 \leq \theta _{2} \leq \pi \right)$라 하자. $\mathrm{\vec{QA}} \bullet {\vec{OR}}$$= \left| {\vec{\mathrm{QA}}} \right| \left| {\vec{OR}} \right| \cos \theta _{2}$$\displaystyle = \sqrt{31} \times 2 \sqrt{3} \times \cos \theta _{2}$ ${\vec{\mathrm{QA}}} \bullet {\vec{\mathrm{OR}}}$의 값은 두 벡터 ${\vec{\mathrm{QA}}}$와 ${\vec{\mathrm{OR}}}$가 방향이 같을 때 최대이다. 그러므로 ${\vec{\mathrm{QA}}} \bullet {\vec{\mathrm{OR}}}$의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{31} \times 2 \sqrt{3} \times \cos 0 = 2 \sqrt{93}$ $\mathrm{\vec{QA}} \bullet {\vec{QR}}$$= \left( {\vec{\mathrm{QA}}} \bullet {\vec{\mathrm{QO}}} \right) + \left( {\vec{\mathrm{QA}}} \bullet {\vec{\mathrm{OR}}} \right)$$\displaystyle \leq 13 + 2 \sqrt{93}$ $\mathrm{\vec{QA}} \bullet {\vec{QR}}$의 최댓값은 $\displaystyle 13 + 2 \sqrt{93}$ $p = 13$, $q = 2$ 따라서 $p + q = 15$