정삼각형 좌표 증명 빈칸

다음은 한 변의 길이가 $2 a$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내부의 점 $\mathrm{P}$가 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} ^{2} + {\overline{BP}} ^{2} = {\overline{CP}} ^{2}$을 만족할 때, $\angle \mathrm{APB} = 150 ^\circ$임을 증명하는 과정이다. [증명] 그림과 같이 변 $\mathrm{AB}$를 $x$축 위에 놓고 변 $\mathrm{AB}$의 중점을 원점 $\mathrm{O}$라 하면 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $( - a , 0 )$, 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $( a , 0 )$, 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $( 0 , \square {( \text{가} )} )$이다.

정삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내부의 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( x , y )$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} ^{2} + {\overline{BP}} ^{2} = {\overline{CP}} ^{2}$을 만족하므로 $\left\{ ( x + a ) ^{2} + y ^{2} \right\} + \left\{ ( x - a ) ^{2} + y ^{2} \right\} = x ^{2} + ( y - {\square {( \text{가} )}} ) ^{2}$이다. 위 식을 정리하면 점 $\mathrm{P}$는 중심이 점 $( 0 , {\square {( \text{나} )}} )$이고 반지름의 길이가 $\square {( \text{다} )}$인 원 위의 점이다.

점 $( 0 , \square {( \text{나} )} )$에서 두 점 $\mathrm{A} , B$까지의 거리가 각각 반지름의 길이 $\square {( \text{다} )}$로 같다. 따라서 점 $\mathrm{P}$가 호 $\mathrm{AB}$위의 점이므로 $\angle \mathrm{APB} = 150 ^\circ$이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f ( a ) , g ( a ) ,$ $h ( a )$라 할 때, $f \left( 3 \right) + g \left( 3 \right) + h \left( 7 \right)$의 값은? [4점] ①$11$②$12$③$13$④$14$⑤$15$