정삼각형 조건으로 계수 구하기

$y = x ^{2} - 2 ax + b = ( x - a ) ^{2} + b - a ^{2}$이므로 꼭짓점은 $\mathrm{C} \left( \mathit{a} , b - a ^{2} \right)$이다. 그래프가 $x$축과 서로 다른 두 점에서 만나므로 $a ^{2} - b > 0$이고, $x ^{2} - 2 ax + b = 0$에서 $\displaystyle x = a \pm \sqrt{a ^{2} - b}$ 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \mathit{2} \sqrt{a ^{2} - b}$ 점 $\mathrm{C}$는 $x$축 아래에 있고 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 $x = a$ 위에 있으므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 높이는 $a ^{2} - b$이다. 정삼각형의 높이는 한 변의 길이의 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$배이므로 $\displaystyle a ^{2} - b = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 \sqrt{a ^{2} - b}$, $\displaystyle \sqrt{a ^{2} - b} = \sqrt{3}$ $a ^{2} - b = 3$ …… ㉠ 점 $\mathrm{C} \left( \mathit{a} , b - a ^{2} \right)$가 직선 $y = x - 5$ 위에 있으므로 $b - a ^{2} = a - 5$ ㉠에서 $b - a ^{2} = - 3$이므로 $a - 5 = - 3$, $a = 2$ ㉠에서 $b = a ^{2} - 3 = 1$ 따라서 $a + b = 3$ ③