정삼각형 활꼴 급수

한 변의 길이가 $3$인 정삼각형 $AB _{1} C _{1}$이 있다. 그림과 같이 선분 $AB _{1}$과 선분 $AC _{1}$을 $2 : 1$로 내분하는 점을 각각 $B _{2}$, $C _{2}$이라 하고, 선분 $B _{2} C _{2}$를 지름으로 하는 원의 호 $B _{2} C _{2}$와 선분 $B _{1} C _{1}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{1}$이라 하자. 정삼각형 $AB _{2} C _{2}$에서 선분 $AB _{2}$과 선분 $AC _{2}$을 $2 : 1$로 내분하는 점을 각각 $B _{3}$, $C _{3}$이라 하고, 선분 $B _{3} C _{3}$를 지름으로 하는 원의 호 $B _{3} C _{3}$와 선분 $B _{2} C _{2}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{2}$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 부분의 넓이를 $S _{n}$이라할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n}$의 값은? [3점] ①$\displaystyle \frac{3 \pi - 5 \sqrt{3}}{10}$②$\displaystyle \frac{6 \pi - 9 \sqrt{3}}{20}$③$\displaystyle \frac{4 \pi - 5 \sqrt{3}}{10}$④$\displaystyle \frac{8 \pi - 9 \sqrt{3}}{20}$⑤$\displaystyle \frac{10 \pi - 9 \sqrt{3}}{20}$