대수삼각함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정삼각형 회전 다각형 넓이

문제

그림은 한 변의 길이가 22인 정삼각형 OABOAB를 꼭짓점 OO를 중심으로 반시계 방향으로 30∘30 ^\circ씩 연속하여 회전한 모양과 그 결과로 만들어진 다각형이다.

이 다각형의 넓이를 a+b3\displaystyle a + b \sqrt{3}라 할 때, b−ab - a의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 유리수이다.) [4점]

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120

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해설

[출제의도] 도형의 닮음을 이용하여 도형의 넓이 구하기 ① 정삼각형 66개의 넓이 : 6×34×4=63\displaystyle 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = 6 \sqrt{3} ② 겹쳐져서 튀어나온 이등변삼각형△CDE\mathrm{\triangle} C D E 66개의 넓이 : CM‾=OC‾−OM‾=2−3\displaystyle \mathrm{\overline{CM}} = {\overline{OC}} - {\overline{OM}} = 2 - \sqrt{3} ∠DCM=60∘\mathrm{\angle} DCM = 60 ^\circ이므로 DM‾CM‾=3\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{DM}}}{\overline{\mathrm{CM}}} = \sqrt{3} DM‾=3⋅CM‾=3(2−3)\displaystyle \overline{\mathrm{DM}} = \sqrt{3} \cdot \overline{\mathrm{CM}} = \sqrt{3} ( 2 - \sqrt{3} ) ∴△CDE=2⋅12CM‾⋅DM‾=−12+73\displaystyle \therefore \mathrm{\triangle} CDE = 2 \cdot \frac{1}{2} \overline{CM} \cdot \overline{DM} = - 12 + 7 \sqrt{3} ∴6△CDE\therefore 6 \mathrm{\triangle} CDE=6×(73−12)=−72+423\displaystyle = 6 \times ( 7 \sqrt{3} - 12 ) = - 72 + 42 \sqrt{3} 전체 넓이 ①＋ ②의 값은 −72+483\displaystyle - 72 + 48 \sqrt{3} ∴b−a=120\therefore b - a = 120

태그

#회전#넓이

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