정삼각형 호 길이 급수

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$인 정삼각형 ${\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{B}} _{1} {\mathrm{C}} _{1}$이 있다. 꼭짓점 $\mathrm{A} _{1}$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{3} \overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}}$인 원이 삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P} _{1}$, $\mathrm{Q} _{1}$이라 하고 삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}$의 내부에 있는 호 $\mathrm{P} _{1} Q _{1}$을 이등분하는 점을 $\mathrm{A} _{2}$라 하자. 점 $\mathrm{A} _{2}$를 꼭짓점으로 하고 나머지 두 꼭짓점 $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$가 변 $\mathrm{B} _{1} C _{1}$ 위에 있는 정삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}$를 그린다. 꼭짓점 $\mathrm{A} _{2}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{3} \overline{\mathrm{A} _{2} B _{2}}$인 원이 삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{Q} _{2}$라 하고 삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}$의 내부에 있는 호 $\mathrm{P} _{2} Q _{2}$를 이등분하는 점을 $\mathrm{A} _{3}$이라 하자. 점 $\mathrm{A} _{3}$을 꼭짓점으로 하고 나머지 두 꼭짓점 $\mathrm{B} _{3}$, $\mathrm{C} _{3}$이 변 $\mathrm{B} _{1} C _{1}$ 위에 있는 정삼각형 $\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3}$을 그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 호 ${\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{Q}} _{n}$의 길이를 $l _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \sqrt{3} \pi$②$\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2} \pi$③$\displaystyle 2 \sqrt{3} \pi$④$\displaystyle \frac{5 \sqrt{3}}{2} \pi$⑤$\displaystyle 3 \sqrt{3} \pi$