정삼각형 둘레의 합

[출제의도] 등비수열을 이용하여 도형의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $l _{1} = 3$이다. 두 점 $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$에서 선분 $\mathrm{B} _{1} C _{1}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{X} _{1}$, $\mathrm{Y} _{1}$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{B} _{1} Q _{1} P _{1}$과 삼각형 $\mathrm{C} _{1} R _{1} Q _{1}$은 합동인 정삼각형이고 점 $\mathrm{B} _{2}$는 삼각형 $\mathrm{B} _{1} Q _{1} P _{1}$의 무게중심, 점 $\mathrm{C} _{2}$는 삼각형 $\mathrm{C} _{1} R _{1} Q _{1}$의 무게중심, 점 $\mathrm{Q} _{1}$은 선분 $\mathrm{B} _{1} C _{1}$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} X _{1}}} = \overline{X _{1} Q _{1}} = \mathrm{\overline{Q _{1} Y _{1}}} = \overline{Y _{1} C _{1}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{2} X _{1}}} = \overline{C _{2} Y _{1}}$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{2} C _{2}}} = \overline{X _{1} Y _{1}} = \frac{1}{2} \overline{B _{1} C _{1}} = \frac{1}{2}$

같은 방법으로 두 선분 $\mathrm{A} _{2} B _{2}$, $\mathrm{C} _{2} A _{2}$의 길이를 각각 구하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} B _{2}} = \overline{\mathrm{C} _{2} A _{2}} = \frac{1}{2}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}$는 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 정삼각형이다. ∴ $\displaystyle l _{2} = \frac{3}{2}$ 이와 같은 과정을 계속하면 삼각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}$의 둘레의 길이는 삼각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}$의 둘레의 길이의 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 수열 $\left\{ l _{n} \right\}$은 첫째항이 $3$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 등비수열이다. ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{8} l _{n} = \frac{3 \left( 1 - \frac{1}{2 ^{8}} \right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{765}{128}$