정삼각형 둘레 구분구적

[출제의도] 정적분과 급수의 관계를 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다.

정삼각형 ${{{\mathrm{P}} _{k}} {{\mathrm{Q}} _{k}} {{\mathrm{R}} _{k}}}$의 한 변의 길이를 $a$라 하고 변 ${{\mathrm{Q}} _{k}} {{\mathrm{R}} _{k}}$의 중점을 ${\mathrm{H}} _{k}$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{P} \mathit{_{k}} \mathrm{H} \mathit{_{k}}}} = \sqrt{x _{k}}$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{P} \mathit{_{k}} \mathrm{Q} \mathit{_{k}}}} \sin 60 ^{\circ} = {\overline{\mathrm{P} \mathit{_{k}} \mathrm{H} \mathit{_{k}}}}$이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} a = \sqrt{x _{k}}$에서 $\displaystyle a = \frac{2 \sqrt{x _{k}}}{\sqrt{3}}$ $\displaystyle l _{k} = 3 a = 2 \sqrt{3 x _{k}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{\frac{9 k}{n}}$ $\displaystyle \left( \because x _{k} = \frac{3}{n} k \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{l _{k}}{n}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{2}{n} \sqrt{\frac{9 k}{n}}$ $\displaystyle = \frac{2}{9} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{9}{n} \sqrt{\frac{9 k}{n}}$ $\displaystyle = \frac{2}{9} \int _{0} ^{9} {} \sqrt{x} dx$ $\displaystyle = \frac{2}{9} \left[ \frac{2}{3} x ^{\frac{3}{2}} \right] _{0} ^{9}$ $\displaystyle = \frac{4}{27} \left( 27 - 0 \right)$ $= 4$