정삼각형 도형 급수

그림 $R _{1}$에서 사각형 $\mathrm{A} _{2} C _{2} F _{1} G _{1}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 5 \times 3 \times \sin \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \times \sin \frac{\pi}{3} = \frac{7 \sqrt{3}}{4}$ 세 사각형 $\mathrm{A} _{2} C _{2} F _{1} G _{1}$, $\mathrm{B} _{2} A _{2} D _{1} H _{1}$, $\mathrm{C} _{2} B _{2} E _{1} I _{1}$의 넓이는 모두 같으므로 $\displaystyle S _{1} = \frac{21 \sqrt{3}}{4}$

그림 $R _{n}$에서 세 사각형 ${\mathrm{A}} _{n+1} {\mathrm{C}} _{n+1} {\mathrm{F}} _{n} {\mathrm{G}} _{n}$, ${\mathrm{B}} _{n+1} {\mathrm{A}} _{n+1} {\mathrm{D}} _{n} {\mathrm{H}} _{n}$, ${\mathrm{C}} _{n+1} {\mathrm{B}} _{n+1} {\mathrm{E}} _{n} {\mathrm{I}} _{n}$의 넓이의 합을 $T _{n}$이라 하자. 삼각형 ${\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}$과 삼각형 ${\mathrm{A}} _{n+1} {\mathrm{B}} _{n+1} {\mathrm{C}} _{n+1}$이 닮음이므로 정삼각형 ${\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}$의 한 변의 길이를 $l _{n}$이라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{C}} _{n+1}} = \frac{5}{8} l _{n}$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{A}} _{n+1}} = \frac{3}{8} l _{n}$ 삼각형 ${\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{A}} _{n+1} {\mathrm{C}} _{n+1}$에서 코사인법칙을 이용하여 $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} _{n+1} {\mathrm{C}} _{n+1}}$의 길이 $l _{n+1}$을 구하면 $( l _{n+1} ) ^{2}$$\displaystyle = \left( \frac{5}{8} l _{n} \right) ^{2} + \left( \frac{3}{8} l _{n} \right) ^{2} - 2 \times \frac{5}{8} l _{n} \times \frac{3}{8} l _{n} \times \cos \frac{\pi}{3}$$\displaystyle = \frac{19}{64} ( l _{n} ) ^{2}$ $\displaystyle l _{n+1} = \frac{\sqrt{19}}{8} l _{n}$이고 $\displaystyle l _{n} : l _{n+1} = 1 : \frac{\sqrt{19}}{8}$ $\displaystyle T _{n} : T _{n+1} = 1 : \frac{19}{64}$이고 $\displaystyle T _{n+1} = \frac{19}{64} T _{n}$ $\left\{ T _{n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle T _{1} = S _{1} = \frac{21 \sqrt{3}}{4}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{19}{64}$인 등비수열이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} T _{n} = \frac{\frac{21 \sqrt{3}}{4}}{1 - \frac{19}{64}} = \frac{112 \sqrt{3}}{15}$