정삼각형 단면 부피

입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 $\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{x \ln x}}$인 정삼각형이므로 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S \left( x \right)$라 하면 $\displaystyle S \left( x \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} y ^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{x \ln x}} \right) ^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4 x \ln x}$ 따라서 구하는 입체도형의 부피 $V$는 $V$$\displaystyle = \int _{\sqrt{e}} ^{e} S \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{\sqrt{e}} ^{e} \frac{\sqrt{3}}{4 x \ln x} dx$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \int _{\sqrt{e}} ^{e} \frac{\frac{1}{x}}{\ln x} dx$ $\ln x = t$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$ $\displaystyle x = \sqrt{e}$일 때 $\displaystyle t = \ln \sqrt{e} = \frac{1}{2}$, $x = e$일 때 $t = \ln e = 1$이므로 $V$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \int _{\frac{1}{2}} ^{1} \frac{1}{t} dt$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \ln \left| t \right| \end{array} \right] _{\frac{1}{2}} ^{1}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \ln 1 - \ln \frac{1}{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \ln 2$