정삼각형 단면 부피

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 직선 $x = t ( 1 \leq t \leq 2 )$를 포함하고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S ( t )$라 하면 $\displaystyle S ( t ) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 3 t + \frac{2}{t} \right) ^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 9 t ^{2} + 12 + \frac{4}{t ^{2}} \right)$ 따라서 구하는 부피 $V$는 $V$$\displaystyle = \int _{1} ^{2} {\begin{aligned} S ( t ) dt \end{aligned}}$$\displaystyle = \int _{1} ^{2} {\frac{\sqrt{3}}{4} \left( 9 t ^{2} + 12 + \frac{4}{t ^{2}} \right) dt}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ 3 t ^{3} + 12 t - \frac{4}{t} \right] _{1} ^{2} = \frac{35 \sqrt{3}}{4}$