정삼각형 부채꼴 등비급수

[출제의도] 등비급수를 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가? $\mathrm{\angle} B _{1} C _{1} D _{1} = 30 ^\circ$, $\mathrm{\angle} C _{1} D _{1} B _{1} = 90 ^\circ$이므로 직각삼각형 $\mathrm{B} _{1} C _{1} D _{1}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1} D _{1}}} = \overline{B _{1} C _{1}} \cos 30 ^\circ$$\displaystyle = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 한편, 두 선분 $\mathrm{B} _{1} B _{2}$와 $\mathrm{B} _{1} D _{1}$과 호 $\mathrm{D} _{1} B _{2}$로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\mathrm{\triangle} B _{1} C _{1} D _{1} -$ 부채꼴$\mathrm{B} _{2} C _{1} D _{1}$ $\displaystyle = \frac{\mathrm{1}}{2} \times {\overline{C _{1} D _{1}}} \times {\overline{D _{1} B _{1}}} - {\overline{C _{1} D _{1}}} ^{2} \times \pi \times \frac{30 ^\circ}{360 ^\circ}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2} \times \pi \times \frac{1}{12}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{16}$ $\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3} - \pi}{16}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 또, 삼각형 $\mathrm{C} _{1} A _{2} C _{2}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \times {\overline{C _{2} C _{1}}} \times {\overline{C _{1} A _{2}}} \times \sin 30 ^\circ$ $\displaystyle \mathrm{\left. = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} {\overline{B _{2} C _{1}}} \right) \times \left( {\overline{B _{2} C _{1}}} \cos 30 ^\circ \right) \times \sin 30 ^\circ \right.}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \frac{1}{2}$ $\displaystyle = \frac{3 \sqrt{3}}{64}$ $\cdots \cdots$ ㉡ 따라서 $R _{1}$의 넓이 $S _{1}$은 ㉠과 ㉡에 의해 $\displaystyle S _{1} = \frac{2 \sqrt{3} - \pi}{16} + \frac{3 \sqrt{3}}{64}$$\displaystyle = \frac{11 \sqrt{3} - 4 \pi}{64}$ 한편, 직각삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{1}$에서 $\mathrm{\angle} B _{2} C _{1} A _{2} = 30 ^\circ$이므로 $\mathrm{\angle} A _{2} B _{2} C _{1} = 60 ^\circ$ 또, $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{2} B _{2}}} = \overline{B _{2} C _{1}} \sin 30 ^\circ$$\displaystyle = \frac{1}{2} \mathrm{\overline{B _{2} C _{1}}} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}$에서 $\mathrm{\angle} A _{2} B _{2} C _{2} = 60 ^\circ$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{2} B _{2}}} = \overline{B _{2} C _{2}}$ 즉, 삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}$는 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}$인 정삼각형이다. 그러므로 길이의 비가 $\displaystyle 1 : \frac{\sqrt{3}}{4}$이므로 넓이의 비는 $\displaystyle 1 : \frac{3}{16}$이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$$\displaystyle = \frac{\frac{11 \sqrt{3} - 4 \pi}{64}}{1 - \frac{3}{16}}$$\displaystyle = \frac{11 \sqrt{3} - 4 \pi}{52}$