기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정삼각형 벡터 크기

문제

한 변의 길이가 33인 정삼각형 ABCABC에서 변 ABAB를 2:12 : 1로 내분하는 점을 DD라 하고, 변 ACAC를 3:13 : 1과 1:31 : 3으로 내분하는 점을 각각 EE, FF라 할 때, ∣BF⃗+DE⃗∣2{\left| \vec{BF} + \vec{DE} \right|} ^{2}의 값은? [3점]

①1717②1818③1919④2020⑤2121

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③

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해설

BF⃗=−AB⃗+14AC⃗\displaystyle {\vec{BF}} = - {\vec{AB}} + \frac{1}{4} {\vec{AC}}, DE⃗=34AC⃗−23AB⃗\displaystyle {\vec{DE}} = \frac{3}{4} {\vec{AC}} - \frac{2}{3} {\vec{AB}} ∣BF⃗+DE⃗∣2=∣−53AB⃗+AC⃗∣2=259∣AB⃗∣2+∣AC⃗∣2−103(AB⃗∙AC⃗)\displaystyle \left| {\vec{BF}} + {\vec{DE}} \right| ^{2} = \left| - \frac{5}{3} {\vec{AB}} + {\vec{AC}} \right| ^{2} = \frac{25}{9} \left| {\vec{AB}} \right| ^{2} + \left| {\vec{AC}} \right| ^{2} - \frac{10}{3} ( {\vec{AB}} \bullet {\vec{AC}} ) AB⃗∙AC⃗=3×3×cos⁡60∘=92\displaystyle {\vec{AB}} \bullet {\vec{AC}} = 3 \times 3 \times \cos 60 ^\circ = \frac{9}{2} ∴34−15=1934 - 15 = 19

태그

#벡터#내적

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