정삼각형 반원 도형 급수

[출제의도] 등비급수를 활용하여 추론하기 선분 ${\mathrm{B}} _{1} {\mathrm{C}} _{1}$, $\mathrm{C} _{1} A _{1}$을 $1 : 2$로 내분하는 점이 각각 ${\mathrm{B}} _{2}$, ${\mathrm{C}} _{2}$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{B}} _{2{\mathrm{C}}_{1}}} = 2$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{C}} _{1{\mathrm{C}}_{2}}} = 1$ 선분 ${\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{C}} _{1}$을 지름으로 하는 반원의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \pi \times \left( \frac{\overline{\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{2}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}}}}{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2}$ 선분 ${\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{C}} _{1}$, ${\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{C}} _{2}$의 중점을 각각 $\mathrm{M} _{1}$, $\mathrm{N} _{1}$이라 하고, 선분 ${\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{C}} _{2}$를 지름으로 하는 반원의 호와 선분 $\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{2}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}}$의 교점을 $\mathrm{D} _{1}$이라 하자.

$\displaystyle {\overline{\mathrm{M} \mathit{_{1}} \mathrm{C} \mathit{_{1}}}} = {\overline{\mathrm{C} \mathit{_{1}} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}} = 1$, $\angle {\mathrm{C}} _{1} = 60 ^\circ$이므로 삼각형 $\mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \mathrm{M} \mathit{\mathrm{_{1}}}$은 정삼각형 $\angle \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{2}}} \mathrm{M} \mathit{\mathrm{_{1}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} = 120 ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{M} \mathit{_{1}} \mathrm{C} \mathit{_{2}} \mathrm{B} \mathit{_{2}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{M} \mathit{\mathrm{_{1}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{2}}}}} = {\overline{\mathrm{M} \mathit{\mathrm{_{1}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}}}} = 1$인 이등변삼각형이므로 $\angle \mathrm{M} \mathit{_{1}} \mathrm{C} \mathit{_{2}} \mathrm{B} \mathit{_{2}} = 30 ^\circ$ 삼각형 ${\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{C}} _{1} {\mathrm{C}} _{2}$는 $\angle \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \mathrm{=} 90 ^\circ$인 직각삼각형 $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{2}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{2}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}}}} ^{2}$$= 4 - 1 = 3$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{B}} _{2{\mathrm{C}}_{2}}} = \sqrt{3}$, 같은 방법으로 $\displaystyle {\overline{\mathit{\mathrm{A}} _{2} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{2}}}}} = {\overline{\mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{2}}}}} = \sqrt{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}$는 정삼각형 삼각형 $\mathrm{N} _{1} B _{2} D _{1}$은 $\angle \mathrm{B} \mathrm{_{2}} \mathrm{N} \mathit{\mathrm{_{1}}} \mathrm{D} \mathit{\mathrm{_{1}}} = 120 ^\circ$, $\displaystyle {\overline{\mathit{\mathrm{N}} _{1} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{2}}}}} = {\overline{\mathrm{N} _{1} \mathit{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{_{1}}}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$인 이등변삼각형 부채꼴 ${\mathrm{N}} _{1} {\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{D}} _{1}$의 넓이는 $\displaystyle \pi \times {\overline{\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{2}}} \mathrm{N} \mathit{\mathrm{_{1}}}}} ^{2} \times \frac{120 ^\circ}{360 ^\circ}$$\displaystyle = \pi \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$ 점 $\mathrm{N} _{1}$에서 선분 ${\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{D}} _{1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H} _{1}$이라 하면, $\displaystyle \overline{{\mathrm{N}} _{1{\mathrm{H}}_{1}}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} \mathit{_{2}} \mathrm{H} \mathit{_{1}}}} = \frac{3}{4}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{2} D _{1}}} = 2 {\overline{\mathrm{B} _{2} H _{1}}} = \frac{3}{2}$ 삼각형 ${\mathrm{N}} _{1} {\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{D}} _{1}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{B}} _{2{\mathrm{D}}_{1}}} \times \overline{{\mathrm{N}} _{1{\mathrm{H}}_{1}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{16}$ $S _{1}$$= ($선분 ${\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{C}} _{1}$을 지름으로 하는 반원의 넓이$)$ $-$(부채꼴 ${\mathrm{N}} _{1} {\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{D}} _{1}$의 넓이)$+$(삼각형 $\mathrm{N} \mathit{\mathrm{_{1}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{2}}} \mathrm{D} \mathit{\mathrm{_{1}}}$의 넓이$\left. ) \right.$ $\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{16}$$\displaystyle = \frac{4 \pi + 3 \sqrt{3}}{16}$ 다음은 그림 $R _{n + 1}$의 일부이다. $\left( n \geq 1 \right)$

정삼각형 ${\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}$의 한 변의 길이를 $a _{n}$이라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{B}} _{n+1} {\mathrm{C}} _{n}} = \frac{2}{3} a _{n}$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{C}} _{n} {\mathrm{C}} _{n+1}} = \frac{1}{3} a _{n}$ 삼각형 ${\mathrm{B}} _{n+1{\mathrm{C}}_{n{\mathrm{C}}_{n+1}}}$은 $\angle {\mathrm{C}} _{n+1} = 90 ^\circ$인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \left( a _{n + 1} \right) ^{2} = \left( \frac{2}{3} a _{n} \right) ^{2} - \left( \frac{1}{3} a _{n} \right) ^{2}$, $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} a _{n}$ 그림 $R _{n + 1}$에 새로 색칠된 부분의 넓이를 $b _{n + 1}$이라 하면 $\displaystyle b _{n + 1} = \frac{1}{3} b _{n}$, $b _{1} = S _{1}$ 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{4 \pi + 3 \sqrt{3}}{16}$이고, 공비가 $\displaystyle \frac{1}{3}$인 등비수열이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n}} b _{k}$$\displaystyle = \frac{\frac{4 \pi + 3 \sqrt{3}}{16}}{1 - \frac{1}{3}}$$\displaystyle = \frac{12 \pi + 9 \sqrt{3}}{32}$