정사각뿔과 곱셈공식

[출제의도] 다항식의 연산을 활용하여 문제해결하기 정사각뿔 $\mathrm{O} - ABCD$의 부피는 $\displaystyle \frac{1}{3} \times a ^{2} \times \sqrt{a ^{2} - \left( \frac{\sqrt{2}}{2} a \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6} a ^{3}$ 정사각뿔 $\mathrm{O} - EFGH$의 부피는 $\displaystyle \frac{1}{3} \times b ^{2} \times \sqrt{b ^{2} - \left( \frac{\sqrt{2}}{2} b \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6} b ^{3}$ 두 정사각뿔 $\mathrm{O} - ABCD$, $\mathrm{O} - EFGH$의 부피의 합이 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6} \left( a ^{3} + b ^{3} \right) = 2 \sqrt{2}$, $a ^{3} + b ^{3} = 12$ 점 $\mathrm{F}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하면 삼각형 $\mathrm{BFI}$는 $\angle \mathrm{FBI} = 60 ^\circ$인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{FI}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \overline{\mathrm{FB}} \frac{= \mathit{\sqrt{3}}}{2} \left( a - b \right)$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BI}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{FB}} = \frac{1}{2} \mathit{\left( a - b \right)}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AI}} = \mathit{a} - \frac{1}{2} \left( a - b \right) = \frac{1}{2} \left( a + b \right)$ 삼각형 $\mathrm{FAI}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{FI}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AI}}} ^{2}$ $\displaystyle = \left\{ \frac{\sqrt{3}}{2} \left( a - b \right) \right\} ^{2} + \left\{ \frac{1}{2} \left( a + b \right) \right\} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{3}{4} \left( a ^{2} - 2 ab + b ^{2} \right) + \frac{1}{4} \left( a ^{2} + 2 ab + b ^{2} \right)$ $= a ^{2} - ab + b ^{2} = 4$ $a ^{3} + b ^{3} = \left( a + b \right) \left( a ^{2} - ab + b ^{2} \right) = \left( a + b \right) \times 4 = 12$이므로 $a + b = 3$ $a ^{2} - ab + b ^{2} = \left( a + b \right) ^{2} - 3 ab = 3 ^{2} - 3 ab = 4$이므로 $\displaystyle ab = \frac{5}{3}$ $\displaystyle \left( a - b \right) ^{2} = \left( a + b \right) ^{2} - 4 ab = 3 ^{2} - 4 \times \frac{5}{3} = \frac{7}{3}$이므로 $\displaystyle a - b = \frac{\sqrt{21}}{3}$ 사각형 $\mathrm{ABFE}$의 넓이는 정삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이에서 정삼각형 $\mathrm{OEF}$의 넓이를 뺀 것과 같으므로 $S$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} a ^{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} b ^{2}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( a ^{2} - b ^{2} \right)$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( a + b \right) \left( a - b \right)$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3 \times \frac{\sqrt{21}}{4} = \frac{3}{4} \sqrt{7}$ 따라서 $\displaystyle 32 \times S ^{2} = 32 \times \frac{63}{16} = 126$