기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각뿔에서 각의 코사인 최대·최소

문제

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 11인 정사각뿔이 있다. 모서리 EC\mathrm{EC} 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∠BPD=θ\mathrm{\angle} BPD = \theta라 할 때, cos⁡θ\cos \theta의 최댓값과 최솟값의 합은?

①−13\displaystyle - \frac{1}{3}②−36\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{6}③00④36\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}⑤13\displaystyle \frac{1}{3}

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①

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해설

PB‾=PD‾=x\displaystyle \overline{PB} = \overline{PD} = x로 놓으면 코사인제이법칙에서 BD‾2=PB‾2+PD‾2−2⋅PB‾⋅PD‾⋅cos⁡θ\displaystyle \overline{BD} ^{2} = \overline{PB} ^{2} + \overline{PD} ^{2} - 2 \cdot \overline{PB} \cdot \overline{PD} \cdot \cos \theta BD‾=2\displaystyle \overline{BD} = \sqrt{2}이므로 2=x2+x2−2x2cos⁡θ2 = x ^{2} + x ^{2} - 2 x ^{2} \cos \theta 2x2(1−cos⁡θ)=22 x ^{2} ( 1 - \cos \theta ) = 2 →1−cos⁡θ=1x2\displaystyle \rightarrow 1 - \cos \theta = \frac{1}{x ^{2}} ∴cos⁡θ=1−1x2\displaystyle \therefore \cos \theta = 1 - \frac{1}{x ^{2}} 그런데 32≤BP‾≤1,\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \leq \overline{BP} \leq 1 , 즉 32≤x≤1\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \leq x \leq 1 →34≤x2≤1\displaystyle \rightarrow \frac{3}{4} \leq x ^{2} \leq 1이므로 1≤1x2≤43\displaystyle 1 \leq \frac{1}{x ^{2}} \leq \frac{4}{3} ∴−13≤cos⁡θ≤0\displaystyle \therefore - \frac{1}{3} \leq \cos \theta \leq 0 최댓값은 0,0 , 최솟값은 −13\displaystyle - \frac{1}{3} ∴0+(−13)=−13\displaystyle \therefore 0 + \left( - \frac{1}{3} \right) = - \frac{1}{3}

태그

#코사인법칙

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