정사각뿔 위 도형 보기

[출제의도] 공간벡터를 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. ㄱ. 도형 $D$는 점 $A$를 중심으로 하고 정사각뿔의 네 옆면 위에 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{3}$, 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$인 부채꼴의 호이다. 따라서 $D$의 길이는 $\displaystyle 4 \times \left( \sqrt{3} \times \frac{\pi}{3} \right) = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \pi$ (참) ㄴ. 두 벡터 ${\vec{AX _{1}}} , {\vec{AX _{2}}}$가 이루는 각의 크기 $\theta _{1} ( 0 < \theta _{1} < \pi )$에 대하여 $\displaystyle \left| {\vec{AX _{1}}} + {\vec{AX _{2}}} \right| = \sqrt{\left| {\vec{AX _{1}}} \right| ^{2} + \left| {\vec{AX _{2}}} \right| ^{2} + 2 \left| {\vec{AX _{1}}} \right| \left| {\vec{AX _{2}}} \right| \cos \theta _{1}}$ $\displaystyle = \sqrt{3 + 3 + 6 \cos \theta _{1}}$$\cdots$㉠ 이므로 $\left| {\vec{AX _{1}}} + {\vec{AX _{2}}} \right|$의 값은 $\theta _{1}$이 최대일 때 최솟값을 갖는다. 그런데 두 점 $X _{1} , X _{2}$가 정사각뿔의 마주보는 두 모서리에 있을 때 두 벡터 ${\vec{AX _{1}}} , {\vec{AX _{2}}}$가 이루는 각이 최대이고 $\displaystyle \theta _{1} = \frac{\pi}{2}$이다. 그러므로 ㉠에서 $\cos \theta _{1} = 0$이므로 $\left| {\vec{AX _{1}}} + {\vec{AX _{2}}} \right|$의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{6}$ (참) ㄷ. 옆면 $ABC$위의 점 $X$에 대하여 ${\vec{AH}}$와 ${\vec{AX}}$가 이루는 각을 $\theta _{2}$라 하자. $\theta _{2}$의 크기는 점 $X$가 모서리 $AB$나 $AC$위에 있을 때 가장 크며, $\cos \theta _{2}$의 값은 최소이다. 그러므로 $\left( {\vec{AH}} \bullet {\vec{AX}} \right) ^{2}$의 최솟값은 $\displaystyle \left( 2 \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ^{2} = 6$ 또한 $\theta _{2}$의 크기는 점 $X$가 옆면 $ABC$의 중선과 호의 교점일 때 가장 작으며, $\cos \theta _{2}$의 값은 최대이다. $\left( {\vec{AH}} \bullet {\vec{AX}} \right) ^{2}$의 최댓값은 $\displaystyle \left( 2 \times \sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{6}} \right) ^{2} = 8$ 그러므로 $6 \leq \left( {\vec{AH}} \bullet {\vec{AX}} \right) ^{2} \leq 8$ $\left( {\vec{AH}} \bullet {\vec{AX}} \right) ^{2} = 6$ 이면, 점 $X$가 모서리 $AB$, $AC$, $AD$, $AE$ 위에 있을 때이므로 점 $X$의 개수는 4 $\left( {\vec{AH}} \bullet {\vec{AX}} \right) ^{2} = 7$ 이면, 점 $X$가 각 옆면에 2개씩 존재하므로 점 $X$의 개수는 8 $\left( {\vec{AH}} \bullet {\vec{AX}} \right) ^{2} = 8$ 이면, 점 $X$가 각 옆면에 1개씩 존재하므로 점 $X$의 개수는 4 따라서 $\left( {\vec{AH}} \bullet {\vec{AX}} \right) ^{2}$의 값이 자연수가 되는 점 $X$의 개수는 16 (거짓)