정사각뿔 구와 정사영

$\angle \mathrm{RCP} = \mathit{\angle} \mathrm{ACP}$이므로 $\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{RCP} \right) = \frac{1}{4}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{RC}}} = \frac{1}{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{RCP}$에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{RP}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{RC}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{PC}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{RC}}} \times {\overline{\mathrm{PC}}} \times \cos \left( \angle \mathrm{RCP} \right)$ $\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + 1 ^{2} - 2 \times \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{4} = 1$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{RP}}} = 1$, 마찬가지로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} = 1$ 두 삼각형 $\mathrm{PQC}$, $\mathrm{PQR}$은 서로 합동이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{PCQ} = \mathit{\angle} \mathrm{PRQ} = \frac{\mathit{\pi}}{2}$이고, 네 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$을 모두 지나는 구를 $S$라 하면 구 $S$의 중심은 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점이고 구 $S$의 반지름의 길이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$이다. 구 $S$의 중심을 $\mathrm{O}$라 하자. 구 $S$ 위의 점 중 직선 $\mathrm{AB}$와의 거리가 최소인 점 $\mathrm{S}$에 대하여 점 $\mathrm{O}$에서 직선 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{M}$이라 하면 삼각형 $\mathrm{ABS}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times \left( {\overline{\mathrm{OM}}} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$이다. 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{BD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{N}$이라 하면 $\mathrm{N}$은 선분 $\mathrm{BD}$의 중점이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 4$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BN}}} = \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AN}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{BN}}} ^{2}} = \sqrt{4 ^{2} - \left( \sqrt{2} \right) ^{2}} = \sqrt{14}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{ON}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{AN}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{ON}}} ^{2}} = \sqrt{\left( \sqrt{14} \right) ^{2} + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ^{2}} = \sqrt{\frac{29}{2}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{BN}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{ON}}} ^{2}} = \sqrt{\left( \sqrt{2} \right) ^{2} + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ^{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$에서 코사인법칙에 의해 $\cos \left( \angle \mathrm{OBA} \right)$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{OB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OA}}} ^{2}}{2 \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{OB}}}}$ $\displaystyle = \frac{4 ^{2} + \left( \sqrt{\frac{5}{2}} \right) ^{2} - \left( \sqrt{\frac{29}{2}} \right) ^{2}}{2 \times 4 \times \sqrt{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ 이므로 $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{OBA} \right) = \frac{3}{\sqrt{10}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OM}}} = {\overline{\mathrm{OB}}} \times \sin \left( \angle \mathrm{OBA} \right) = \sqrt{\frac{5}{2}} \times \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3}{2}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABS}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times \left( {\overline{\mathrm{OM}}} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \times \left( \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ $\displaystyle = 3 - \sqrt{2}$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{OM}}} = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{3}{2} = 3$ 삼각형 $\mathrm{OBN}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BN}}} \times {\overline{\mathrm{ON}}} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}$ 두 평면 $\mathrm{O} A B$와 $\mathrm{BCD}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하자. 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영은 삼각형 $\mathrm{OBN}$이므로 $\displaystyle 3 \times \cos \theta = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{6}$ 두 평면 $\mathrm{ABS}$와 $\mathrm{BCD}$가 이루는 각의 크기는 두 평면 $\mathrm{OAB}$와 $\mathrm{BCD}$가 이루는 각의 크기와 같으므로 삼각형 $\mathrm{ABS}$의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이는 $\displaystyle \left( 3 - \sqrt{2} \right) \times \cos \theta = \left( 3 - \sqrt{2} \right) \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{6}$ 따라서 $\displaystyle p = \frac{1}{2}$, $\displaystyle q = - \frac{1}{6}$이므로 $\displaystyle 60 \times \left( p + q \right) = 60 \times \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) = 60 \times \frac{1}{3} = 20$