공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형과 정삼각형 넓이

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정사각형 ABCD{\mathrm{ABCD}}에서 선분 BC{\mathrm{BC}}의 연장선 위에 BF‾=CG‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = {\overline{\mathrm{CG}}}가 되도록 두 점 F{\mathrm{F}}, G{\mathrm{G}}를 잡는다. 선분 FG{\mathrm{FG}}를 한 변으로 하고 점 E{\mathrm{E}}를 꼭짓점으로 갖는 정삼각형 EFG{\mathrm{EFG}}가 선분 AD{\mathrm{AD}}와 두 점에서 만난다. 선분 EF{\mathrm{EF}}가 선분 AD{\mathrm{AD}}, 선분 AB{\mathrm{AB}}와 만나는 점을 각각 H{\mathrm{H}}, I{\mathrm{I}}라 하고, 선분 EG{\mathrm{EG}}가 선분 AD{\mathrm{AD}}, 선분 CD{\mathrm{CD}}와 만나는 점을 각각 J{\mathrm{J}}, K{\mathrm{K}}라 하자. 삼각형 EHJ{\mathrm{EHJ}}의 넓이와 삼각형 AIH{\mathrm{AIH}}의 넓이의 합의 최솟값은? (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.단, 233−1<BF‾<233)\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1 < {\overline{\mathrm{BF}}} < \frac{2 \sqrt{3}}{3} \begin{matrix} \\ \end{matrix} ) [4점]

①36\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}②33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}③32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}④233\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}⑤536\displaystyle \frac{5 \sqrt{3}}{6}

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②

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해설

HJ‾=2x(0<x<1)\displaystyle {\overline{\mathrm{HJ}}} = 2 x \left( 0 < x < 1 \right)이라 하면 AH‾=1−x\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = 1 - x이고 ∠IHA=60∘\angle {\mathrm{IHA}} = 60 ^\circ이므로 AI‾=3×AH‾=3(1−x)\displaystyle {\overline{\mathrm{AI}}} = \sqrt{3} \times {\overline{\mathrm{AH}}} = \sqrt{3} \left( 1 - x \right) 삼각형 EHJ{\mathrm{EHJ}}와 삼각형 AIH{\mathrm{AIH}}의 넓이를 각각 S1(x)S _{1} \left( x \right), S2(x)S _{2} \left( x \right)라 하면 S1(x)=34×(2x)2=3x2\displaystyle S _{1} \left( x \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left( 2 x \right) ^{2} = \sqrt{3} x ^{2}, S2(x)=12×(1−x)×3(1−x)=32(1−x)2\displaystyle S _{2} \left( x \right) = \frac{1}{2} \times \left( 1 - x \right) \times \sqrt{3} \left( 1 - x \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 - x \right) ^{2} S1(x)+S2(x)S _{1} \left( x \right) + S _{2} \left( x \right)=3x2+32(1−x)2\displaystyle = \sqrt{3} x ^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 - x \right) ^{2} =32(3x2−2x+1)\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 3 x ^{2} - 2 x + 1 \right) =32{3(x−13)2+23}\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} \left\{ 3 \left( x - \frac{1}{3} \right) ^{2} + \frac{2}{3} \right\} =332(x−13)2+33\displaystyle = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \left( x - \frac{1}{3} \right) ^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} 은 x=13\displaystyle x = \frac{1}{3}일 때 최솟값 33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}을 갖는다. 따라서 삼각형 EHJ{\mathrm{EHJ}}의 넓이와 삼각형 AIH{\mathrm{AIH}}의 넓이의 합의 최솟값은 33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}

태그

#이차함수 최솟값#도형

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