기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정사각형과 벡터 내적

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 11인 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}에서 (AB⃗+kBC⃗)⋅(AC⃗+3kCD⃗)=0\left( \mathrm{\vec{AB}} + \mathit{k} {\vec{BC}} \right) \cdot \left( \mathrm{\vec{AC}} + 3 \mathit{k} {\vec{CD}} \right) = 0 일 때, 실수 kk의 값은? [3점]

①11②12\displaystyle \frac{1}{2}③13\displaystyle \frac{1}{3}④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤15\displaystyle \frac{1}{5}

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②

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해설

[출제의도] 벡터의 내적을 이용하여 주어진 등식을 만족시키는 상수의 값을 구할 수 있는가 AC⃗=AB⃗+BC⃗\mathrm{\vec{AC}} = {\vec{AB}} + {\vec{BC}}이고 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}에서 CD⃗=−AB⃗\mathrm{\vec{CD}} = \mathit{-} \mathrm{\vec{AB}}이므로 AC⃗+3kCD⃗\mathrm{\vec{AC}} + 3 \mathit{k} \mathrm{\vec{CD}}=(AB⃗+BC⃗)+3k(−AB⃗)= \left( \mathrm{\vec{AB}} + {\vec{BC}} \right) + \mathit{3} k \left( - \mathrm{\vec{AB}} \right)=(1−3k)AB⃗+BC⃗= \left( 1 - 3 k \right) \mathrm{\vec{AB}} + {\vec{BC}} 이다. (AB⃗+kBC⃗)⋅(AC⃗+3kCD⃗)\left( \mathrm{\vec{AB}} + \mathit{k} {\vec{\mathrm{BC}}} \right) \cdot \left( \mathrm{\vec{AC}} + 3 \mathit{k} {\vec{\mathrm{CD}}} \right) =(AB⃗+kBC⃗)⋅{(1−3k)AB⃗+BC⃗}= \left( \mathrm{\vec{AB}} + \mathit{k} {\vec{\mathrm{BC}}} \right) {\cdot} \left\{ \left( 1 - 3 k \right) \mathrm{\vec{AB}} + {\vec{BC}} \right\} =(1−3k)∣AB⃗∣2+AB⃗⋅BC⃗= \left( 1 - 3 k \right) \left| \mathrm{\vec{AB}} \right| \mathit{^{2}} + \mathrm{\vec{AB}} {\cdot} {\vec{BC}}+(k−3k2)BC⃗⋅AB⃗+k∣BC⃗∣2+ \left( k - 3 k ^{2} \right) \mathrm{\vec{BC}} \cdot {\vec{AB}} + \mathit{k} \left| \mathrm{\vec{BC}} \right| \mathit{^{2}} ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣=1\left| \mathrm{\vec{AB}} \right| = \left| \mathrm{\vec{BC}} \right| = 1, AB⃗⋅BC⃗=0\mathrm{\vec{AB}} {\cdot} {\vec{BC}} = 0이므로 (AB⃗+kBC⃗)⋅(AC⃗+3kCD⃗)\left( \mathrm{\vec{AB}} + \mathit{k} \mathrm{\vec{BC}} \right) \cdot \left( \mathrm{\vec{AC}} + 3 \mathit{k} \mathrm{\vec{CD}} \right) =(1−3k)+0+0+k=1−2k= \left( 1 - 3 k \right) + 0 + 0 + k = 1 - 2 k 따라서 1−2k=01 - 2 k = 0이므로 k=12\displaystyle k = \frac{1}{2}

태그

#벡터의 내적#정사각형

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