정사각형 원 극한

선분 $\mathrm{DE}$를 지름으로 하는 원의 중심을 $\mathrm{O} _{1}$, 선분 $\mathrm{DF}$의 중점을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{E}$를 포함하지 않는 호 $\mathrm{DF}$를 이등분하는 점을 $\mathrm{Q}$라 하고, 선분 $\mathrm{PQ}$를 지름의 양 끝점으로 하는 원의 중심을 $\mathrm{O} _{2}$라 하자. 직각삼각형 $\mathrm{BCE}$에서 선분 $\mathrm{BC}$ 길이가 $1$이고 각 $\mathrm{EBC}$가 $\theta$ 이므로 선분 $\mathrm{CE}$의 길이는 $\tan \theta$이다. 따라서 선분 $\mathrm{DE}$의 길이가 $1 - \tan \theta$이므로 선분 $\mathrm{DO} _{1}$의 길이는 $\displaystyle {\frac{1}{2} \left( 1 - \tan \theta \right)}$ 이다. 한편, 각 $\mathrm{EDF}$의 크기가 $\theta$이므로 선분 $\mathrm{O} _{1} P$의 길이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left( 1 - \tan \theta \right) \sin \theta$이다. 그러므로 $\displaystyle \begin{aligned} r \left( \theta \right) & = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{2} \left( 1 - \tan \theta \right) - \frac{1}{2} \left( 1 - \tan \theta \right) \sin \theta \right\} = \frac{1}{4} \left( 1 - \tan \theta \right) \left( 1 - \sin \theta \right) \end{aligned}$ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4} -} {\frac{r \left( \theta \right)}{\frac{\pi}{4} - \theta}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4} -} {\frac{\frac{1}{4} \left( 1 - \tan \theta \right) \left( 1 - \sin \theta \right)}{\frac{\pi}{4} - \theta}}$ 에서 $\displaystyle t = \frac{\pi}{4} - \theta$ 로 치환하면 $\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\frac{1}{4} \left( 1 - \tan \left( \frac{\pi}{4} - t \right) \right) \left( 1 - \sin \left( \frac{\pi}{4} - t \right) \right)}{t}} & \end{aligned}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t} \right) \left( 1 - \sin \left( \frac{\pi}{4} - t \right) \right)}{t}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\frac{1}{4} \left( \frac{2 \tan t}{1 + \tan t} \right) \left( 1 - \sin \left( \frac{\pi}{4} - t \right) \right)}{t}}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \times 2 \times \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \left( 2 - \sqrt{2} \right)$