정사각형 속 삼각형 넓이

$\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = {\overline{\mathrm{AD}}} - {\overline{\mathrm{FD}}} = x - 2$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BG}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{BC}}} + {\overline{\mathrm{CG}}} = x + \left( x - 2 \right)$$= 2 x - 2$ 사각형 $\mathrm{ABGF}$는 두 밑변의 길이가 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BG}}}$이고, 높이가 $x$인 사다리꼴이므로 $\square \mathrm{ABGF}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left\{ \left( x - 2 \right) + \left( 2 x - 2 \right) \right\} \times x$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 3 x - 4 \right) \times x$ $\displaystyle = \frac{3}{2} x ^{2} - 2 x$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = {\overline{\mathrm{CG}}} = x - 2$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{FD}}} = {\overline{\mathrm{EC}}} = 2$이고 $\angle {\mathrm{FDE}} \mathit{=} \angle {\mathrm{ECG}} \mathit{=} 90 ^\circ$이므로 삼각형 ${\mathrm{FDE}}$와 삼각형 ${\mathrm{ECG}}$는 서로 합동이다. 오각형 ${\mathrm{ABCEF}}$의 넓이를 $S$라 하면 $\square \mathrm{ABGF}$$= S + \triangle \mathrm{ECG} \mathit{+} \triangle \mathrm{EGF} \mathit{=} S + \triangle \mathrm{FDE} \mathit{+} \triangle \mathrm{EGF}$ $= \square \mathrm{ABCD} \mathit{+} \triangle \mathrm{EGF}$$= x ^{2} + 7$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \frac{3}{2} x ^{2} - 2 x = x ^{2} + 7$ $\displaystyle \frac{1}{2} x ^{2} - 2 x - 7 = 0$ $x ^{2} - 4 x - 14 = 0$ 근의 공식에 의하여 $x$$\displaystyle = \frac{- \left( - 4 \right) \pm \sqrt{\left( - 4 \right) ^{2} - 4 \times 1 \times \left( - 14 \right)}}{2 \times 1} = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2}$ $\displaystyle = 2 \pm 3 \sqrt{2}$ $x > 4$이므로 $\displaystyle x = 2 + 3 \sqrt{2}$