정사각형 속 사다리꼴 보기

[출제의도] 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 참, 거짓을 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다.

사각형 $\mathrm{ABCD}$를 점 $\mathrm{B}$를 원점으로 하는 좌표평면 위에 놓으면, $\mathrm{A} ( \mathit{0} , 4 )$, $\mathrm{C} ( \mathit{4} , 0 )$, $\mathrm{D} ( \mathit{4} , 4 )$이고 점 $\mathrm{F}$의 좌표를 $( a , b )$라 하면, (단, $0 < a < 2$, $0 < b < 2$) $\mathrm{E} ( \mathit{a} , b + 2 )$, $\mathrm{G} ( \mathit{a} + 2 , b )$, $\mathrm{H} ( \mathit{a} + 2 , b + 2 )$이다. ㄱ. $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} ^{2} + \overline{CG} ^{2} = \mathit{\left\{ a ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} \right\}} + \left\{ ( a - 2 ) ^{2} + b ^{2} \right\}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} ^{2} + \overline{DH} ^{2} = \left( \mathit{a} ^{2} + b ^{2} \right) + \left\{ ( a - 2 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} \right\}$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} ^{2} + \overline{CG} ^{2} = \overline{BF} ^{2} + \overline{DH} ^{2}$ ∴참 ㄴ. $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \overline{BF}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} ^{2} = {\overline{BF}} ^{2}$ $a ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} = a ^{2} + b ^{2}$ $4 b = 4$ ∴ $b = 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CG}} ^{2} \mathit{=} ( a - 2 ) ^{2} + b ^{2} = ( a - 2 ) ^{2} + 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DH}} ^{2} \mathit{=} ( a - 2 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} = ( a - 2 ) ^{2} + 1$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{CG}} = \overline{DH}$ ∴참 ㄷ. $\displaystyle \mathrm{S} _{1} + S _{3} = \frac{1}{2} ( 4 + 2 ) \times \mathit{\left\{ a + ( 2 - a ) \right\}} = 6$ $\displaystyle \mathrm{S} _{2} + S _{4} = \frac{1}{2} ( 4 + 2 ) \times \mathit{\left\{ b + ( 2 - b ) \right\}} = 6$ ∴ $\mathrm{S} _{1} + S _{3} = S _{2} + S _{4}$ ∴참