정사각형 속 내접원 넓이 급수

[출제의도] 무한등비급수의 합을 이용하여 문제 해결하기 $D _{n}$에서 새로 만들어진 원의 개수를 $a _{n}$이라 하면 $a _{1} = 1$, $a _{n+1} = 2 a _{n} + 3$ ($n = 1 , 2 , 3 , \cdots$)이다. $a _{n} = 2 ^{n+1} - 3$이고 $D _{1}$에 있는 원의 넓이는 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$, $D _{1}$에서 새로 만들어진 $D _{2}$에 있는 한 개의 내접원의 넓이는 $\displaystyle \frac{\pi}{4 ^{2}}$, $\cdots$ $D _{n-1}$에서 새로 만들어진 $D _{n}$에 있는 한 개의 내접원의 넓이는 $\displaystyle \frac{\pi}{4 ^{n}}$이므로 $D _{n}$에 있는 모든 원의 넓이의 합을 $S _{n}$이라하면 $\displaystyle S _{n} = ( 2 ^{2} - 3 ) \cdot \frac{\pi}{4} + ( 2 ^{3} - 3 ) \cdot \frac{\pi}{4 ^{2}} + \cdots + ( 2 ^{n+1} - 3 ) \cdot \frac{\pi}{4 ^{n}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ ( 2 ^{k+1} - 3 ) \cdot \frac{\pi}{4 ^{k}} \right\}$ $\displaystyle = \pi \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{k-1} - \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^{k-1} \right\}$ 그러므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{\pi} S _{n}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = 1$