미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정사각형 넓이의 무한급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 11인 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1} 내부에 합동인 44개의 직각삼각형의 넓이의 합과 정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}의 넓이가 같도록 만들고, 정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2} 내부에 같은 방법으로 정사각형 A3B3C3D3\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3} D _{3}을 만든다. 이와 같은 과정을 한없이 반복하여 만들어진 정사각형 AnBnCnDn\mathrm{A} _{n} B _{n} C _{n} D _{n}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, 무한급수 ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n}의 합은? [3점]

①22②94\displaystyle \frac{9}{4}③52\displaystyle \frac{5}{2}④114\displaystyle \frac{11}{4}⑤33

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①

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해설

Sn+1=12Sn\displaystyle S _{n+1} = \frac{1}{2} S _{n}이므로 ∑n=1∞Sn=11−12=2\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{1}{1 - {\frac{1}{2}}} = 2

태그

#무한등비급수#도형

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