미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사각형 넓이 무한급수

문제

그림과 같이 넓이가 1인 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}의 각 변의 중점과 꼭지점을 이은 선분으로 둘러싸인 정사각형을 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}라 하고, 다시 정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}의 각 변의 중점과 꼭지점을 이은 선분으로 둘러싸인 정사각형을 A3B3C3D3\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3} D _{3}이라 하자. 이와 같은 방법으로 계속하여 만든 정사각형 AnBnCnDn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}} (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots)의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, 100∑n=1∞Sn\displaystyle 100 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 값을 구하시오. [4점]

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125

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해설

[출제의도] 규칙성의 이해와 무한급수에 관한 문제 해결 능력을 측정한다. 아래 그림과 같이 생각하면 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}의 빗금친 부분과 어두운 부분의 넓이의 합은 정사각형A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}의 넓이와 같다.

따라서 정사각형A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}의 넓이는 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}의 넓이의 15\displaystyle \frac{1}{5}이다. 이와 같이 생각하면 Sn+1=15Sn\displaystyle S _{n+1} = \frac{1}{5} S _{n} (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots), S1=1S _{1} = 1이므로 ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}=11−15\displaystyle = \frac{1}{1 - \frac{1}{5}}=54\displaystyle = \frac{5}{4} ∴\therefore 100∑n=1∞Sn=100×54=125\displaystyle 100 \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} S _{n} = 100 \times \frac{5}{4} = 125

태그

#무한등비급수#도형

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