미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사각형 넓이 무한급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 11인 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}에서 선분 AB\mathrm{AB}와 선분 AD\mathrm{AD}를 각각 m:nm : n으로 내분하는 점을 지나는 두 직선을 그어 만들어지는 44개의 사각형 중 아랫부분 정사각형의 넓이를 S1S _{1}, 윗부분의 정사각형을 A1B1CD1\mathrm{A} _{1} B _{1} CD _{1}이라 하자. 다시 정사각형 A1B1CD1\mathrm{A} _{1} B _{1} CD _{1}에서 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}과 선분 A1D1\mathrm{A} _{1} D _{1}을 각각 m:nm : n으로 내분하는 점을 지나는 두 직선을 그어 만들어지는 44개의 사각형 중 아랫부분 정사각형의 넓이를 S2S _{2}, 윗부분의 정사각형을 A2B2CD2\mathrm{A} _{2} B _{2} CD _{2}라 하자. 이와 같은 시행을 무한히 반복할 때, ∑k=1∞Sk=17\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{\infty} S _{k} = \frac{1}{7}이다. m2+n2m ^{2} + n ^{2}의 값을 구하시오. (단, m,nm , n 은 서로소인 자연수) [4점]

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10

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해설

색칠한 부분의 넓이를 차례대로 Sk(k=1,2,3⋯ )S _{k} ( k = 1 , 2 , 3 \cdots ) 이라고 하면 S1=r2,S2=r2(1−r)2,S3=r2(1−r)4⋯S _{1} = r ^{2} , S _{2} = r ^{2} ( 1 - r ) ^{2} , S _{3} = r ^{2} ( 1 - r ) ^{4} \cdots ∑k=1∞Sk=r21−(1−r)2=r2−r=17\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{\infty} S _{k} = \frac{r ^{2}}{1 - ( 1 - r ) ^{2}} = \frac{r}{2 - r} = \frac{1}{7} ∴r=14\displaystyle \therefore r = \frac{1}{4}이므로 m:n=r:1−r=1:3m : n = r : 1 - r = 1 : 3 따라서 m2+n2=10m ^{2} + n ^{2} = 10

태그

#무한등비급수#도형

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