정사각형 넓이 급수

그림과 같이 한 변의 길이가 $10$인 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$의 넓이를 $S _{1}$이라 하자. 변 $\mathrm{A} _{1} B _{1}$, $\mathrm{B} _{1} C _{1}$, $\mathrm{C} _{1} D _{1}$, $\mathrm{D} _{1} A _{1}$의 중점을 각각 $\mathrm{P} _{1}$, $\mathrm{Q} _{1}$, $\mathrm{R} _{1}$, $\mathrm{T} _{1}$이라 하고, 선분 $\mathrm{A} _{1} Q _{1}$, $\mathrm{B} _{1} R _{1}$의 교점을 $\mathrm{A} _{2}$, 선분 $\mathrm{B} _{1} R _{1}$, $\mathrm{C} _{1} T _{1}$의 교점을 $\mathrm{B} _{2}$, 선분 $\mathrm{C} _{1} T _{1}$, $\mathrm{D} _{1} P _{1}$의 교점을 $\mathrm{C} _{2}$, 선분 $\mathrm{D} _{1} P _{1}$, $\mathrm{A} _{1} Q _{1}$의 교점을 $\mathrm{D} _{2}$라 할 때, 사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 넓이를 $S _{2}$라 하자. 변 $\mathrm{A} _{2} B _{2}$, $\mathrm{B} _{2} C _{2}$, $\mathrm{C} _{2} D _{2}$, $\mathrm{D} _{2} A _{2}$의 중점을 각각 $\mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{Q} _{2}$, $\mathrm{R} _{2}$, $\mathrm{T} _{2}$라 하고, 선분 $\mathrm{A} _{2} Q _{2}$, $\mathrm{B} _{2} R _{2}$의 교점을 $\mathrm{A} _{3}$, 선분 $\mathrm{B} _{2} R _{2}$, $\mathrm{C} _{2} T _{2}$의 교점을 $\mathrm{B} _{3}$, 선분 $\mathrm{C} _{2} T _{2}$, $\mathrm{D} _{2} P _{2}$의 교점을 $\mathrm{C} _{3}$, 선분 $\mathrm{D} _{2} P _{2}$, $\mathrm{A} _{2} Q _{2}$의 교점을 $\mathrm{D} _{3}$이라 할 때, 사각형 $\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3} D _{3}$의 넓이를 $S _{3}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 사각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$의 넓이를 $S _{n}$이라 하자. 이때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}$의 값을 구하시오. [3점]

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