미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형 넓이 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 44인 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}이 있다. 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}의 내부에 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}을 한 변으로 하는 정삼각형 P1B1C1\mathrm{P} _{1} B _{1} C _{1}을 만든다. 다시 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1} 위에 정삼각형 P1B1C1\mathrm{P} _{1} B _{1} C _{1}에 내접하는 정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}를 만든다. 이와 같은 방법으로 만들어지는 정사각형 AnBnCnDn{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n} {\mathrm{D}} _{n}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점]

①43+15\displaystyle {4 \sqrt{3} + 15}②53+10\displaystyle {5 \sqrt{3} + 10}③53+25\displaystyle {5 \sqrt{3} + 25}④63+5\displaystyle {6 \sqrt{3} + 5}⑤63+10\displaystyle {6 \sqrt{3} + 10}

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⑤

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해설

Bn{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{_{n}}} Cn{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{_{n}}} An+1{\mathrm{A}} _{n + 1} Dn+1{\mathrm{D}} _{n+1} Bn+1{\mathrm{B}} _{n + 1} Cn+1{\mathrm{C}} _{n + 1}

ln+1l _{n + 1}

△PnBnCn\triangle {\mathrm{P}} \mathit{_{n}} {\mathrm{B}} \mathit{_{n}} {\mathrm{C}} \mathit{_{n}}의 높이는 32ln=ln+1+32ln+1\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} l _{n} = l _{n + 1} + \frac{\sqrt{3}}{2} l _{n + 1}이므로 ln+1ln=32+3=23−3\displaystyle \frac{l _{n + 1}}{l _{n}} = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} - 3 따라서 첫째항은 1616이고, 공비는 (23−3)2\displaystyle \left( 2 \sqrt{3} - 3 \right) ^{2} 인 무한등비급수의 합이다. ∑n=1∞Sn=161−(23−3)2=63+10\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{16}{1 - \left( 2 \sqrt{3} - 3 \right) ^{2}} = {6 \sqrt{3} + 10}

태그

#무한등비급수#도형

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