미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형 넓이 극한

문제

좌표평면에서 원 C:x2+y2=1C : x ^{2} + y ^{2} = 1위의 제1사분면에 있는 점 PP에 대하여 선분 OPOP가 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ\theta라 하고, 점 PP를 지나고 원 CC에 접하는 직선을 ll이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 정사각형 ABCDABCD의 넓이를 S(θ)S ( \theta )라 하자.

(가) 선분 ABAB는 원 CC와 점 E(1,0)E ( 1 , 0 )에서 접하고, AE‾=BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = {\overline{BE}}이다. (나) 점 DD는 제1사분면의 점이고 직선 ll위에 있다.

lim⁡θ→0+S(θ)θ4\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{4}}의 값은? (단, OO는 원점이다.) [4점] ①116\displaystyle \frac{1}{16}②18\displaystyle \frac{1}{8}③14\displaystyle \frac{1}{4}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤1

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③

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해설

[출제의도] 수학내적문제 해결능력-삼각함수

그림과 같이 정사각형과 xx축이 만나는 점 중 EE가 아닌 점을 FF, 직선 ll과 xx축이 만나는 점을 GG라 하자. 직각삼각형 POGPOG에서 cos⁡θ=OP‾OG‾\displaystyle \cos \theta = \frac{{\overline{OP}}}{{\overline{OG}}}이므로 OG‾=1cos⁡θ\displaystyle {\overline{OG}} = \frac{1}{\cos \theta} 정사각형의 한 변의 길이를 aa라 하면, DF‾=a2\displaystyle {\overline{DF}} = \frac{a}{2}이므로 점 DD의 좌표는 (1+a,a2)\displaystyle \left( 1 + a , \frac{a}{2} \right)이고, FG‾=OG‾−OF‾=1cos⁡θ−(1+a)\displaystyle {\overline{FG}} = {\overline{OG}} - {\overline{OF}} = \frac{1}{\cos \theta} - ( 1 + a )이다. 직각삼각형 DFGDFG에서 ∠FDG=θ\angle FDG = \theta이므로 tan⁡θ=FG‾DF‾=1cos⁡θ−1−aa2=2−2cos⁡θ−2acos⁡θacos⁡θ\displaystyle \tan \theta = \frac{{\overline{FG}}}{{\overline{DF}}} = \frac{\frac{1}{\cos \theta} - 1 - a}{\frac{a}{2}} = \frac{2 - 2 \cos \theta - 2 a \cos \theta}{a \cos \theta} asin⁡θ=2−2cos⁡θ−2acos⁡θa \sin \theta = 2 - 2 \cos \theta - 2 a \cos \theta a=2(1−cos⁡θ)sin⁡θ+2cos⁡θ\displaystyle a = \frac{2 \left( 1 - \cos \theta \right)}{\sin \theta + 2 \cos \theta} 따라서 S(θ)=a2=4(1−cos⁡θ)2(sin⁡θ+2cos⁡θ)2\displaystyle S \left( \theta \right) = a ^{2} = \frac{4 \left( 1 - \cos \theta \right) ^{2}}{\left( \sin \theta + 2 \cos \theta \right) ^{2}} 이때 lim⁡θ→0+1−cos⁡θθ2=lim⁡θ→0+1−cos⁡2θθ2(1+cos⁡θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{1 - \cos \theta}{\theta ^{2}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{1 - \cos ^{2} \theta}{\theta ^{2} \left( 1 + \cos \theta \right)}=lim⁡θ→0+(sin⁡2θθ2×11+cos⁡θ)=12\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \left( \frac{\sin ^{2} \theta}{\theta ^{2}} \times \frac{1}{1 + \cos \theta} \right) = \frac{1}{2} 이므로 lim⁡θ→0+S(θ)θ4=lim⁡θ→0+(1−cos⁡θ)2θ4×lim⁡θ→0+4(sin⁡θ+2cos⁡θ)2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{S \left( \theta \right)}{\theta ^{4}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{\left( 1 - \cos \theta \right) ^{2}}{\theta ^{4}} \times \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{4}{\left( \sin \theta + 2 \cos \theta \right) ^{2}} =(12)2×4(0+2)2=14\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \times \frac{4}{( 0 + 2 ) ^{2}} = \frac{1}{4} [다른풀이] 직선 ll의 방정식은 xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x \cos \theta + y \sin \theta = 1 정사각형의 한 변의 길이를 aa라 하면 점 DD의 좌표는 (1+a,a2)\displaystyle \left( 1 + a , \frac{a}{2} \right)이고, 점 DD는 직선 ll위의 점이므로 (1+a)cos⁡θ+a2sin⁡θ=1\displaystyle ( 1 + a ) \cos \theta + \frac{a}{2} \sin \theta = 1 따라서 a=2(1−cos⁡θ)sin⁡θ+2cos⁡θ\displaystyle a = \frac{2 \left( 1 - \cos \theta \right)}{\sin \theta + 2 \cos \theta}

태그

#삼각함수의 극한#접선

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