정사각형 네 조각 넓이

Ⅰ. 거짓<반례> 다음 그림과 같이 잡으면 $\displaystyle A = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8} > \frac{1}{4}$, $\displaystyle C = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8} > \frac{1}{4}$

Ⅱ. 거짓<반례> $\displaystyle A = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9} < \frac{1}{4}$, $\displaystyle D = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9} < \frac{1}{4}$

Ⅲ. 참 $\displaystyle A = xy > \frac{1}{4}$ $D = ( 1 - x ) ( 1 - y )$$= 1 - ( x + y ) + xy$ 산술기하평균에서 $\displaystyle x + y \geq 2 \sqrt{xy}$이므로 $\displaystyle D \leq 1 - 2 \sqrt{A} + A$$\displaystyle = ( \sqrt{A} - 1 ) ^{2} < \frac{1}{4} \left( \because A > \frac{1}{4} \right)$

[별해]

그림에서 $A = ab , B = b ( 1 - a )$, $C = a ( 1 - b ) , D = ( 1 - a ) ( 1 - b )$이다. 따라서, $AD = BC , A + B + C + D = 1$인 관계가 성립한다. $A + B + C + D = 1 = ( A + D ) + ( B + C )$ $\displaystyle \geq 2 \sqrt{AD} + 2 \sqrt{BC} = 4 \sqrt{AD}$ $\displaystyle \therefore \sqrt{AD} \leq \frac{1}{4}$에서 $\displaystyle AD \leq \frac{1}{16}$ 따라서 $\displaystyle A > \frac{1}{4}$이면 $\displaystyle D < \frac{1}{4}$이 성립한다.