정사각형 내분점 보기

[출제의도] 절대부등식을 이용하여 도형의 성질을 추론한다. ㄱ. 삼각형 $\mathrm{GDH}$와 삼각형 $\mathrm{FCG}$는 직각이등변삼각형이므로 각 $\mathrm{FGH}$는 직각이다. 또, 문제에서 점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{FH}$의 중점이므로 세 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$는 중심이 $\mathrm{M}$인 한 원 위에 있다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FM}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{GM}}$이다. (참) ㄴ. 삼각형 $\mathrm{AEH}$와 삼각형 $\mathrm{BFE}$가 합동이므로 $\mathrm{\angle} AEH + \angle BEF$$= 90 ^\circ$이고, 삼각형 $\mathrm{EFH}$는 직각이등변삼각형이다. 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{EH}}$$\displaystyle = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{EFH}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left( a ^{2} + b ^{2} \right)$이다. 선분 $\mathrm{EM}$은 삼각형 $\mathrm{EFH}$를 이등분하므로 삼각형 $\mathrm{EFM}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{4} \left( a ^{2} + b ^{2} \right)$이다. 또한 삼각형 $\mathrm{FGH}$는 직각삼각형이므로 넓이는 $ab$이고 삼각형 $\mathrm{FGM}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} ab$이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{1}{4} \left( a ^{2} + b ^{2} \right) \geq \frac{1}{4} \left( 2 ab \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} ab$ (참) ㄷ. 선분 $\mathrm{FH}$는 직각이등변삼각형 $\mathrm{EFH}$의 빗변이므로 길이는 $\displaystyle \sqrt{2} \times \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}$ 문제에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{FH}}$$\displaystyle = 6 \sqrt{2}$이므로$\displaystyle \sqrt{2} \times \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}$$\displaystyle = 6 \sqrt{2}$에서 $a ^{2} + b ^{2}$$= 36$이다. 그런데 삼각형 $\mathrm{FGM}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} ab$이고 $36$$= a ^{2} + b ^{2} \geq 2 ab$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} ab \leq 9$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{FGM}$의 넓이의 최댓값은 $9$이다. (참)