공통수학2평면좌표AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형 조건으로 선분의 비 찾기

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 A(−2,8)\mathrm{A} ( - 2 , 8 ), B(10,−4)\mathrm{B} ( 10 , - 4 )를 이은 선분 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P}에서 xx축, yy축에 내린 수선의 발을 각각 Q\mathrm{Q}, R\mathrm{R}라 하자. 사각형 OQPR\mathrm{OQPR}가 정사각형일 때, AP‾:PB‾=m:n\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}} = m : n이다. m+nm + n의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이고, mm, nn은 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

사각형 OQPR\mathrm{OQPR}가 정사각형이면 OQ‾=OR‾\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} = \overline{\mathrm{OR}}이므로 점 P\mathrm{P}의 xx좌표와 yy좌표는 같다. 점 P\mathrm{P}는 선분 AB\mathrm{AB}를 m:nm : n으로 내분하는 점이므로 P(10m−2nm+n,−4m+8nm+n)\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{10 m - 2 n}{m + n} , \frac{- 4 m + 8 n}{m + n} \right) 두 좌표가 같아야 하므로 10m−2n=−4m+8n10 m - 2 n = - 4 m + 8 n 14m=10n14 m = 10 n, 즉 m:n=5:7m : n = 5 : 7 이때 P(50−1412,−20+5612)\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{50 - 14}{12} , \frac{- 20 + 56}{12} \right), 즉 P(3,3)\mathrm{P} ( 3 , 3 )이 되어 선분 AB\mathrm{AB} 위의 점이고 사각형 OQPR\mathrm{OQPR}는 한 변의 길이가 33인 정사각형이다. 따라서 m+n=5+7=12m + n = 5 + 7 = 12

태그

#내분점#선분의 비#정사각형

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