대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정사각형 잘라내기 넓이 합

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 11인 정사각형 모양의 종이를 99개의 정사각형으로 99등분한 후 중앙의 정사각형 부분을 잘라내고 남은 도형을 A1A _{1}이라 하자. A1A _{1}에서 88개의 정사각형 각각을 다시 99등분하여 중앙의 정사각형 부분을 각각 잘라내고 남은 도형을 A2A _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 도형을 AnA _{n}이라 하자.

⋯\mathbf{\cdots} ⋯\mathbf{\cdots}

AnA _{n}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=110Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} S _{n}의 값은? [3점] ①8{1−(89)11}\displaystyle 8 \left\{ 1 - \left( \frac{8}{9} \right) ^{11} \right\}②8{1−(89)10}\displaystyle 8 \left\{ 1 - \left( \frac{8}{9} \right) ^{10} \right\}③9{1−(89)11}\displaystyle 9 \left\{ 1 - \left( \frac{8}{9} \right) ^{11} \right\}④9{1−(89)10}\displaystyle 9 \left\{ 1 - \left( \frac{8}{9} \right) ^{10} \right\}⑤10{1−(89)11}\displaystyle 10 \left\{ 1 - \left( \frac{8}{9} \right) ^{11} \right\}

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②

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해설

[출제의도] 등비수열의 합의 공식 추론하기

⋯\mathbf{\cdots} ⋯\mathbf{\cdots}

S1=89\displaystyle S _{1} = \frac{8}{9} S2=89S1=(89)2\displaystyle S _{2} = \frac{8}{9} S _{1} = \left( \frac{8}{9} \right) ^{2} S3=89S2=(89)3\displaystyle S _{3} = \frac{8}{9} S _{2} = \left( \frac{8}{9} \right) ^{3} ⋮\vdots 수열 {Sn}\left\{ S _{n} \right\}은 첫째항이 89\displaystyle \frac{8}{9}이고 공비가 89\displaystyle \frac{8}{9}인 등비수열이므로 ∑n=110Sn=89{1−(89)10}1−89=8{1−(89)10}\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} S _{n} = \frac{\frac{8}{9} \left\{ 1 - \left( \frac{8}{9} \right) ^{10} \right\}}{1 - \frac{8}{9}} = 8 \left\{ 1 - \left( \frac{8}{9} \right) ^{10} \right\} 이다. [다른풀이] nn번째 잘라낸 정사각형의 넓이의 합을 TnT _{n}이라 하면 수열 {Tn}\left\{ T _{n} \right\}은 첫째항이 19\displaystyle \frac{1}{9}이고 공비가 89\displaystyle \frac{8}{9}인 등비수열이므로 Sn=1−∑k=1nTk=1−19{1−(89)n}1−89=(89)n\displaystyle S _{n} = 1 - \sum\limits _{k = 1} ^{n} T _{k} = 1 - \frac{\frac{1}{9} \left\{ 1 - \left( \frac{8}{9} \right) ^{n} \right\}}{1 - \frac{8}{9}} = \left( \frac{8}{9} \right) ^{n} 이다. 따라서 ∑n=110Sn=89{1−(89)10}1−(89)=8{1−(89)10}\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} S _{n} = \frac{\frac{8}{9} \left\{ 1 - \left( \frac{8}{9} \right) ^{10} \right\}}{1 - \left( \frac{8}{9} \right)} = 8 \left\{ 1 - \left( \frac{8}{9} \right) ^{10} \right\} 이다.

태그

#등비수열의 합#도형

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