미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형 이등변삼각형 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 aa인 정사각형 OB1C1A0\mathrm{O} B _{1} \mathrm{C} _{1} \mathrm{A} _{0}이 있다. 삼각형 OA1D1\mathrm{O} A _{1} \mathrm{D} _{1}이 ∠D1OA1=30∘\angle \mathrm{D} _{1} \mathrm{O} A _{1} = 30 ^\circ인 이등변삼각형이 되도록 변 B1C1\mathrm{B} _{1} \mathrm{C} _{1}, A0C1\mathrm{A} _{0} \mathrm{C} _{1} 위에 각각 점 A1\mathrm{A} _{1}, D1\mathrm{D} _{1}을 잡고 변 OA1\mathrm{O} A _{1}의 길이를 l1l _{1}이라 하자. 선분 OA1\mathrm{OA} _{1}을 한 변으로 하는 정사각형 OB2C2A1\mathrm{O} B _{2} \mathrm{C} _{2} \mathrm{A} _{1}에서 삼각형 OA2D2\mathrm{O} A _{2} \mathrm{D} _{2}가 ∠D2OA2=30∘\angle \mathrm{D} _{2} \mathrm{O} A _{2} = 30 ^\circ인 이등변삼각형이 되도록 변 B2C2\mathrm{B} _{2} \mathrm{C} _{2}, A1C2\mathrm{A} _{1} \mathrm{C} _{2} 위에 각각 점 A2\mathrm{A} _{2}, D2\mathrm{D} _{2}를 잡고 변 OA2\mathrm{O} A _{2}의 길이를 l2l _{2}라 하자. 선분 OA2\mathrm{O} A _{2}를 한 변으로 하는 정사각형 OB3C3A2\mathrm{O} B _{3} \mathrm{C} _{3} \mathrm{A} _{2}에서 삼각형 OA3D3\mathrm{O} A _{3} \mathrm{D} _{3}이 ∠D3OA3=30∘\angle \mathrm{D} _{3} \mathrm{O} A _{3} = 30 ^\circ인 이등변삼각형이 되도록 변 B3C3\mathrm{B} _{3} \mathrm{C} _{3}, A2C3\mathrm{A} _{2} \mathrm{C} _{3} 위에 각각 점 A3\mathrm{A} _{3}, D3\mathrm{D} _{3}을 잡고 변 OA3\mathrm{O} A _{3}의 길이를 l3l _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 이등변삼각형 OAnDn\mathrm{O} A _{n} \mathrm{D} _{n}에서 변 OAn\mathrm{O} A _{n}의 길이를 lnl _{n}이라 하자. ∑n=1∞1ln=3\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{l _{n}} = \sqrt{3}일 때, aa의 값은? [4점]

①3\displaystyle \sqrt{3}②1+3\displaystyle 1 + \sqrt{3}③2+3\displaystyle 2 + \sqrt{3}④3+3\displaystyle 3 + \sqrt{3}⑤6+3\displaystyle 6 + \sqrt{3}

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③

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해설

l1=acos⁡30∘=23a\displaystyle l _{1} = \frac{a}{\cos 30 ^\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} a ln+1=lncos⁡30∘\displaystyle l _{n+1} = \frac{l _{n}}{\cos 30 ^\circ} ∴ ln+1ln=1cos⁡30∘\displaystyle \frac{l _{n+1}}{l _{n}} = \frac{1}{\cos 30 ^\circ}=23\displaystyle = \frac{2}{\sqrt{3}} 따라서 수열 {ln}\left\{ l _{n} \right\}은 첫째항이 23a\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} a이고 공비가 23\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}인 등비수열이므로 ln=23a⋅(23)n−1\displaystyle l _{n} = \frac{2}{\sqrt{3}} a \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) ^{n-1} =a(23)n\displaystyle = a \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) ^{n} ∴ ∑n=1∞1ln=∑n=1∞1a(23)n\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{l _{n}} = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{a \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) ^{n}}=1a∑n=1∞(32)n\displaystyle = \frac{1}{a} \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{n} =1a⋅321−32\displaystyle = \frac{1}{a} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}=1a⋅32−3\displaystyle = \frac{1}{a} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}=23+3a\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3} + 3}{a}=3\displaystyle = \sqrt{3} ∴ a=2+3\displaystyle a = 2 + \sqrt{3}

태그

#등비급수#도형#삼각비

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