정사각형 이등변 급수

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$의 내부에 네 점 $\mathrm{A} _{2}$, $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$, $\mathrm{D} _{2}$를 네 삼각형 $\mathrm{A} _{2} A _{1} B _{1}$, $` B _{2} B _{1} C _{1}$, $\mathrm{C} _{2} C _{1} D _{1}$, $\mathrm{D} _{2} D _{1} A _{1}$이 모두 한 내각의 크기가 $150 ^\circ$인 이등변삼각형이 되도록 잡는다. 네 삼각형 $\mathrm{A} _{1} A _{2} D _{2}$, $\mathrm{B} _{1} B _{2} A _{2}$, $\mathrm{C} _{1} C _{2} B _{2}$, $\mathrm{D} _{1} D _{2} C _{2}$의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 내부에 네 점 $\mathrm{A} _{3}$, $\mathrm{B} _{3}$, $\mathrm{C} _{3}$, $\mathrm{D} _{3}$을 네 삼각형 $\mathrm{A} _{3} A _{2} B _{2}$, $\mathrm{B} _{3} B _{2} C _{2}$, $\mathrm{C} _{3} C _{2} D _{2}$, $\mathrm{D} _{3} D _{2} A _{2}$가 모두 한 내각의 크기가 $150 ^\circ$인 이등변삼각형이 되도록 잡는다. 네 삼각형 $\mathrm{A} _{2} A _{3} D _{3}$, $\mathrm{B} _{2} B _{3} A _{3}$, $\mathrm{C} _{2} C _{3} B _{3}$, $\mathrm{D} _{2} D _{3} C _{3}$의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle 5 - \frac{3}{2} \sqrt{3}$②$\displaystyle 6 - 2 \sqrt{3}$③$\displaystyle 7 - \frac{5}{2} \sqrt{3}$④$\displaystyle 8 - 3 \sqrt{3}$⑤$\displaystyle 9 - \frac{7}{2} \sqrt{3}$