미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사각형 기울기 극한

문제

그림과 같이 $x$ 축 위에 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{1}}} = 1 , \overline{A _{1} A _{2}} = \frac{1}{2} , \overline{A _{2} A _{3}} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} , \cdots , \overline{A _{n} A _{n + 1}} = \mathit{\left( \frac{1}{2} \right)} ^{n} , \cdots$ 을 만족하는 점 $\mathrm{A} _{1}$ , $\mathrm{A} _{2}$ , $\mathrm{A} _{3}$ , $\cdots$ 에 대하여, 제 $1$ 사분면에 선분 $\mathrm{OA} _{1}$ , $\mathrm{A} _{1} A _{2}$ , $\mathrm{A} _{2} A _{3}$ , $\cdots$ 을 한 변으로 하는 정사각형 $\mathrm{OA} _{1} B _{1} C _{1}$ , $\mathrm{A} _{1} A _{2} B _{2} C _{2}$ , $\mathrm{A} _{2} A _{3} B _{3} C _{3}$ , $\cdots$ 을 계속하여 만든다. 원점과 점 $B _{n}$ 을 지나는 직선의 방정식을 $y = a _{n} x$ 라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} 2 ^{n} a _{n}$ 의 값은? [4점]

① $\displaystyle \frac{1}{4}$ ② $\displaystyle \frac{1}{2}$ ③ $1$ ④ $2$ ⑤ $4$

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③

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해설

원점을 지나는 직선 $y = a _{n} x$ 의 기울기를 나타내는 $a _{n}$ (n=1, 2, 3, …)을 차례로 구해 보면 $a _{1} = 1$ $\displaystyle a _{2} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}}$ $\displaystyle a _{3} = \frac{\left( \frac{1}{2} \right) ^{2}}{1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}}$ ⋮ ∴ $\displaystyle a _{n} = \frac{\left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1}}{\sum\limits _{{k} = 1} ^{n} \left( \frac{1}{2} \right) ^{k-1}}$ $\displaystyle = \frac{\left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1}}{\frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}}{1 - \frac{1}{2}}}$ $\displaystyle = \frac{\left( \frac{1}{2} \right) ^{n}}{1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}}$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} 2 ^{n} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} 2 ^{n} \cdot \frac{\left( \frac{1}{2} \right) ^{n}}{1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{2 ^{n}}}$ $= 1$

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