정사각형 도형 급수

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 무한등비급수에 관한 문제를 해결한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{P} _{1} B _{1}} = \overline{\mathrm{B} _{1} Q _{1}} = 2$, $\angle \mathrm{P} _{1} B _{1} Q _{1} = 90 ^\circ$이므로 직각이등변삼각형 $\mathrm{P} _{1} B _{1} Q _{1}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 ^{2} = 2$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} D _{1}}$이 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 두 변 $\mathrm{B} _{2} C _{2}$, $\mathrm{D} _{2} A _{2}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{M} _{1}$, $\mathrm{N} _{1}$이라 하고, 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} M _{1}} = \sqrt{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{M} _{1} N _{1}} = x$, $\displaystyle \overline{\mathrm{N} _{1} D _{1}} = \overline{\mathrm{A} _{2} N _{1}} = \frac{x}{2}$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} D _{1}} = 3 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} D _{1}} = \overline{\mathrm{B} _{1} M _{1}} + \overline{\mathrm{M} _{1} N _{1}} + \overline{\mathrm{N} _{1} D _{1}}$ $\displaystyle = \sqrt{2} + x + \frac{x}{2} = 3 \sqrt{2}$ ∴ $\displaystyle x = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ 따라서 두 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$과 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 닮음비는 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}} : \overline{\mathrm{A} _{2} B _{2}} = 3 : \frac{4 \sqrt{2}}{3} = 9 : 4 \sqrt{2}$ 이다. 모든 자연수 $n$에 대하여 그림 $R _{n}$은 정사각형과 직각이등변삼각형으로 이루어진 닮음인 도형이므로 그림 $R _{1}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이 $S _{1}$과 그림 $R _{2}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이 $S _{2}$의 비는 $S _{1} : S _{2} =$$\displaystyle 9 ^{2} : ( 4 \sqrt{2} ) ^{2} = 81 : 32$

그림에서 그림 $R _{1}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이 $S _{1}$은 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 넓이와 직각이등변삼각형 $\mathrm{P} _{1} B _{1} Q _{1}$의 넓이의 합이므로 수열 $\left\{ S _{n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 + \left( \frac{4 \sqrt{2}}{3} \right. ) ^{2} = \frac{50}{9}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{32}{81}$인 등비수열이다. ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\frac{50}{9}}{1 - \frac{32}{81}} = \frac{450}{49}$ [다른 풀이] 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$의 한 변의 길이가 $3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} D _{1}} = 3 \sqrt{2}$ 꼭짓점 $\mathrm{D} _{1}$에서 선분 $\mathrm{P} _{1} Q _{1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{M} _{1}$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{D} _{1} M _{1}} = 2 \sqrt{2}$이다. 직선 $\mathrm{D} _{1} A _{1}$과 직선 $\mathrm{P} _{1} Q _{1}$의 교점을 $\mathrm{T} _{1}$, 직선 $\mathrm{C} _{1} D _{1}$과 직선 $\mathrm{P} _{1} Q _{1}$의 교점을 $\mathrm{R} _{1}$이라 하자. 이때 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 넓이는 직각이등변삼각형 $\mathrm{T} _{1} R _{1} D _{1}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{4}{9}$이다.

직각이등변삼각형 $\mathrm{T} _{1} R _{1} D _{1}$은 높이가 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$이고, 밑변의 길이가 $\displaystyle 4 \sqrt{2}$이므로 직각이등변삼각형 $\mathrm{T} _{1} R _{1} D _{1}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{2} = 8$ 이고, 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 넓이는 $\displaystyle 8 \times \frac{4}{9} = \frac{32}{9}$ 이다. 따라서 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 한 변의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} B _{2}} = \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ∴ $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}}} : {\overline{\mathrm{A} _{2} B _{2}}} = 3 : \frac{4 \sqrt{2}}{3} = 9 : 4 \sqrt{2}$ 모든 자연수 $n$에 대하여 그림 $R _{n}$은 정사각형과 직각이등변삼각형으로 이루어진 닮음인 도형이므로 그림 $R _{1}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이 $S _{1}$과 그림 $R _{2}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이 $S _{2}$의 비는 $S _{1} : S _{2} =$$\displaystyle 9 ^{2} : ( 4 \sqrt{2} ) ^{2} = 81 : 32$ 그림에서 그림 $R _{1}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이 $S _{1}$은 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 넓이와 직각이등변삼각형 $\mathrm{P} _{1} B _{1} Q _{1}$의 넓이의 합이므로 수열 $\left\{ S _{n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 + \left( \frac{4 \sqrt{2}}{3} \right. ) ^{2} = \frac{50}{9}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{32}{81}$인 등비수열이다. ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\frac{50}{9}}{1 - \frac{32}{81}} = \frac{450}{49}$