정사각형 도형 급수

[출제의도] 무한급수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 그림과 같이 정사각형 $R _{n}$의 꼭짓점을 각각 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$이라 하고, 문제의 조건에 따라 그린 정삼각형의 꼭짓점을 각각 $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{E} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{F} _{\mathit{n}}$이라 하자. $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$

정사각형 $R _{n}$의 한 변의 길이를 $a _{n}$, 정삼각형 ${\mathrm{C}} _{n} {\mathrm{E}} _{n} {\mathrm{F}} _{n}$의 한 변의 길이를 $b _{n}$이라 하자. $\displaystyle \overline{{\mathrm{C}} _{\mathit{n}} \mathrm{G} _{\mathit{n}}} + \overline{\mathrm{G} _{\mathit{n}} \mathrm{A} _{\mathit{n}}} = \sqrt{2} a _{n}$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} b _{n} + \frac{1}{2} b _{n} = \sqrt{2} a _{n}$ $\displaystyle b _{n} = ( \sqrt{6} - \sqrt{2} ) a _{n}$ 원 $\mathrm{O} _{\mathit{n}}$의 반지름의 길이 $r _{n}$은 $\displaystyle r _{n} = \frac{\sqrt{3}}{2} b _{n} \times \frac{1}{3}$ 정사각형 $R _{\mathit{n} + 1}$의 한 변의 길이는 $\displaystyle \sqrt{2} r _{n}$이므로 $\displaystyle a _{n + 1} = \sqrt{2} r _{n} = \frac{\sqrt{6}}{6} b _{n} = \frac{\sqrt{6}}{6} ( \sqrt{6} - \sqrt{2} ) a _{n}$ $\displaystyle \therefore a _{n+1} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} a _{n}$ 수열$\left\{ S _{\mathit{n}} \right.$은 첫째항이 $1$, 공비가 $\displaystyle \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{3}$인 등비수열이다. ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{1}{1 - \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + 6 \sqrt{3}}{11}$ $\therefore a + b = 9$