정사각형 등비급수

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 등비급수의 합을 구하는 문제를 해결한다. 그림 $R _{n}$에서 새로 색칠된 부분의 넓이를 $a _{n}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 색칠된 부분의 넓이는 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$의 넓이에서 반지름의 길이가 $1$인 반원의 넓이와 직각이등변삼각형 $\mathrm{G} _{1} E _{1} F _{1}$의 넓이를 뺀 값과 같으므로 $\displaystyle a _{1} = 2 ^{2} - \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \times 2 \times 1 \right) = \frac{1}{2} \left( 6 - \pi \right)$ 그림 $R _{2}$에서 선분 $\mathrm{G} _{1} F _{1}$의 중점을 $\mathrm{O}$, 선분 $\mathrm{G} _{1} F _{1}$과 선분 $\mathrm{B} _{2} C _{2}$의 교점을 $\mathrm{H}$라 하고 선분 $\mathrm{OH}$의 길이를 $x$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HB} _{2}}} = {\overline{\mathrm{HF} _{1}}} = 1 - x$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{C} _{2} H}} = 2 x - ( 1 - x ) = 3 x - 1$이므로 삼각형 $\mathrm{OHC} _{2}$에서 $1 ^{2} = x ^{2} + ( 3 x - 1 ) ^{2}$, $\displaystyle x = \frac{3}{5}$ 두 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$, $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 닮음비는 $\displaystyle 1 : \frac{3}{5}$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n + 1} = \left( \frac{3}{5} \right) ^{2} a _{n}$이 성립한다. 따라서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{1}{2} \left( 6 - \pi \right)$이고 공비가 $\displaystyle \frac{9}{25}$인 등비수열이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{2} ( 6 - \pi )}{1 - \frac{9}{25}}$$\displaystyle = \frac{25 \left( 6 - \pi \right)}{32}$