미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사각형 등비급수

문제

한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCDABCD가 있다. 그림과 같이 두 선분 ABAB, CDCD의 중점을 각각 P1P _{1}, Q1Q _{1}이라 하고, 두 선분 BQ1BQ _{1}, CP1CP _{1}의 교점을 R1R _{1}이라 하자. 선분 R1P1R _{1} P _{1} 위의 한점 B1B _{1}, 선분 R1Q1R _{1} Q _{1} 위의 한점 C1C _{1}과 선분 ADAD 위의 두 점 A1A _{1}, D1D _{1}을 꼭짓점으로 하는 정사각형 A1B1C1D1A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}을 그리고, 삼각형 B1R1C1B _{1} R _{1} C _{1}의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 H1H _{1}이라 하자. 그림 H1H _{1}에서 그려진 정사각형 A1B1C1D1A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}에서 두 선분 A1B1A _{1} B _{1}, C1D1C _{1} D _{1}의 중점을 각각 P2P _{2}, Q2Q _{2}라 하고, 두 선분 B1Q2B _{1} Q _{2}, C1P2C _{1} P _{2} 의 교점을 R2R _{2}라 하자. 선분 R2P2R _{2} P _{2} 위의 한 점 B2B _{2}, 선분 R2Q2R _{2} Q _{2} 위의 한 점 C2C _{2}와 선분 A1D1A _{1} D _{1} 위의 두 점 A2A _{2}, D2D _{2}를 꼭짓점으로 하는 정사각형 A2B2C2D2A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}를 그리고, 삼각형 B2R2C2B _{2} R _{2} C _{2}의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 H2H _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 HnH _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}의 값은 [4점]

①9128\displaystyle \frac{9}{128}②564\displaystyle \frac{5}{64}③11128\displaystyle \frac{11}{128}④332\displaystyle \frac{3}{32}⑤13128\displaystyle \frac{13}{128}

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①

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해설

[출제의도] 도형에서 등비급수의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 정사각형 A1B1C1D1A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}의 한변의 길이를 xx라 두자. 직선 D1C1D _{1} C _{1}의 연장선이 변 BCBC와 만나는 점을 E1E _{1}이라 하고 변 ADAD, 변 B1C1B _{1} C _{1}, 변 BCBC의 중점을 각각 F1,G1,I1F _{1} , G _{1} , I _{1}이라 하자. G1C1‾=I1E1‾=12A1B1‾=x2\displaystyle {\overline{G _{1} C _{1}}} = {\overline{I _{1} E _{1}}} = \frac{1}{2} {\overline{A _{1} B _{1}}} = \frac{x}{2}이므로 BE1‾=12+x2\displaystyle {\overline{BE _{1}}} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2} 삼각형 BR1I1BR _{1} I _{1}, 삼각형 BC1E1BC _{1} E _{1}, 삼각형 BQ1CBQ _{1} C는 서로 닮은 직각삼각형이고 I1R1‾BI1‾=E1C1‾BE1‾=CQ1‾BC‾=12\displaystyle \frac{{\overline{I _{1} R _{1}}}}{{\overline{BI _{1}}}} = \frac{{\overline{E _{1} C _{1}}}}{{\overline{BE _{1}}}} = \frac{{\overline{CQ _{1}}}}{{\overline{BC}}} = \frac{1}{2}이므로 I1R1‾=14\displaystyle {\overline{I _{1} R _{1}}} = \frac{1}{4}, E1C1‾=14+x4\displaystyle {\overline{E _{1} C _{1}}} = \frac{1}{4} + \frac{x}{4}

D1E1‾=E1C1‾+C1D1‾\displaystyle {\overline{D _{1} E _{1}}} = {\overline{E _{1} C _{1}}} + {\overline{C _{1} D _{1}}}이므로 1=(14+x4)+x\displaystyle 1 = \left( \frac{1}{4} + \frac{x}{4} \right) + x에서 54x=34\displaystyle \frac{5}{4} x = \frac{3}{4} 따라서 x=35\displaystyle x = \frac{3}{5} 정사각형 ABCDABCD의 한 변의 길이는 1이고 정사각형 A1B1C1D1A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}의 한 변의 길이는 35\displaystyle \frac{3}{5}이므로 두 도형의 닮음비는 1:35\displaystyle 1 : \frac{3}{5}, 넓이의 비는 1:925\displaystyle 1 : \frac{9}{25}이다. 따라서 SnS _{n}의 공비는 925\displaystyle \frac{9}{25} 삼각형 BCR1BCR _{1}과 삼각형 B1C1R1B _{1} C _{1} R _{1}은 서로 닮은 삼각형이고 닮음비는 BC‾:B1C1‾=1:35\displaystyle {\overline{BC}} : {\overline{B _{1} C _{1}}} = 1 : \frac{3}{5} 이므로 넓이의 비는 1:925\displaystyle 1 : \frac{9}{25} 삼각형 BCR1BCR _{1}의 넓이는 12×1×14=18\displaystyle \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}이므로 S1=925×18=9200\displaystyle S _{1} = \frac{9}{25} \times \frac{1}{8} = \frac{9}{200} 따라서 lim⁡n→∞Sn=92001−925=9128\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = \frac{\frac{9}{200}}{1 - \frac{9}{25}} = \frac{9}{128}

태그

#등비급수#닮음

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