정사각형 단면 입체 부피

[출제의도] 적분법을 이용하여 입체도형의 부피를 구한다. $x < 0$일 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{P}} H = \mathit{e} ^{-x}$ $x \geq 0$일 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{P}} H = \mathit{\sqrt{\ln ( x + 1 ) + 1}}$ 이므로 $x$축에 수직인 단면의 넓이는 $x < 0$일 때, $e ^{-2x}$이고 $x \geq 0$일 때, ${\ln ( x + 1 ) + 1}$이다. 따라서 구하는 입체도형의 부피는 $\displaystyle V = \int _{- \ln 2} ^{0} {e ^{- 2 x} dx} + \int _{0} ^{e - 1} {\left\{ \ln \left( x + 1 \right) + 1 \right\} dx}$이고 $\displaystyle V _{1} = \int _{- \ln 2} ^{0} {e ^{- 2 x} dx}$, $\displaystyle V _{2} = \int _{0} ^{e - 1} {\left\{ \ln \left( x + 1 \right) + 1 \right\} dx}$ 라 하면 $V _{1} =$$\displaystyle \int _{- \ln 2} ^{0} {e ^{- 2 x} dx}$ $\displaystyle = - \frac{1}{2} \left[ e ^{- 2 x} \right] _{- \ln 2} ^{0}$ $\displaystyle = - \frac{1}{2} \left( 1 - e ^{2 \ln 2} \right)$ $\displaystyle = - \frac{1}{2} \left( 1 - 4 \right) = \frac{3}{2}$ $V _{2} =$$\displaystyle \int _{0} ^{e - 1} {\left\{ \ln \left( x + 1 \right) + 1 \right\} dx}$에서 $x + 1 = t$로 놓으면 $x = t - 1$에서 $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1$ $x = 0$일 때 $t = 1$, $x = e - 1$일 때 $t = e$이므로 $V _{2} =$$\displaystyle \int _{1} ^{e} {\left( \ln t + 1 \right) dt}$이고 $u \left( t \right) = \ln t + 1$, $v' \left( t \right) = 1$로 놓으면 $\displaystyle u' \left( t \right) = \frac{1}{t}$, $v \left( t \right) = t$이므로 $V _{2} =$$\displaystyle \int _{1} ^{e} {\left( \ln t + 1 \right) dt}$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t \left( \ln t + 1 \right) \end{array} \right] _{1} ^{e} - \int _{1} ^{e} \left( {t \times \frac{1}{t} ) dt} \right.$ $\displaystyle = 2 e - 1 - \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t \end{array} \right] _{1} ^{e}$ $= 2 e - 1 - \left( e - 1 \right) = e$ 따라서 $\displaystyle V = V _{1} + V _{2} = e + \frac{3}{2}$