정사각형 단면 부피

직선 $x = t$ $\displaystyle \left( \sqrt{e} \leq t \leq e \right)$를 포함하고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S \left( t \right)$라 하면 $\displaystyle S \left( t \right) = \frac{1}{t \ln t \left( \ln t + 1 \right)}$ 따라서 구하는 부피를 $V$라 하면 $\displaystyle V = \int _{\sqrt{e}} ^{e} S \left( t \right) dt = \int _{\sqrt{e}} ^{e} \frac{1}{t \ln t \left( \ln t + 1 \right)} dt$ $\ln t = s$로 놓으면 $\displaystyle \frac{ds}{dt} = \frac{1}{t}$이고, $\displaystyle t = \sqrt{e}$일 때 $\displaystyle s = \frac{1}{2}$, $t = e$일 때 $s = 1$이므로 $V$$\displaystyle = \int _{\frac{1}{2}} ^{1} \frac{1}{s \left( s + 1 \right)} ds$ $\displaystyle = \int _{\frac{1}{2}} ^{1} \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1} \right) ds$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \ln s - \ln \left( s + 1 \right) \end{array} \right] _{\frac{1}{2}} ^{1}$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \ln \frac{s}{s + 1} \end{array} \right] _{\frac{1}{2}} ^{1}$ $\displaystyle = \ln \frac{1}{2} - \ln \frac{1}{3}$ $\displaystyle = \ln \frac{3}{2}$