미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사각형 단면 부피

문제

그림과 같이 함수 f(x)=xex2\displaystyle f ( x ) = \sqrt{x} e ^{\frac{x}{2}}에 대하여 좌표평면 위의 두 점 A(x,0)\mathrm{A} ( \mathit{x} , 0 ), B(x,f(x))\mathrm{B} ( \mathit{x} , f ( x ) )를 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 xx축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 A\mathrm{A}의 xx좌표가 x=1x = 1에서 x=ln⁡6x = \ln 6까지 변할 때, 이 정사각형이 만드는 입체도형의 부피는 −a+bln⁡6- a + b \ln 6이다. a+ba + b의 값을 구하시오. (단, aa와 bb는 자연수이다.) [4점]

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12

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해설

[출제의도] 입체도형의 부피 이해하기 선분 AB\mathrm{AB}를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 S(x)S ( x )라 하면 S(x)=xexS ( x ) = xe ^{x} 구하는 입체도형의 부피는 ∫1ln⁡6xexdx=[xex]1ln⁡6−∫1ln⁡6exdx\displaystyle \int _{1} ^{\ln 6} {xe ^{x}} dx = \left[ xe ^{x} \right] _{1} ^{\ln 6} - \int _{1} ^{\ln 6} {e ^{x} dx} =[xex−ex]1ln⁡6=−6+6ln⁡6= \left[ xe ^{x} - e ^{x} \right] _{1} ^{\ln 6} = - 6 + 6 \ln 6 a=6a = 6, b=6b = 6 따라서 a+b=12a + b = 12

태그

#입체도형의 부피#부분적분

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