정사각형 단면 부피

[출제의도] 정적분을 이용하여 입체도형의 부피를 구한다. 입체도형을 직선 $x = t$$\left( 0 \leq t \leq 2 \right)$를 포함하고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 $\displaystyle \left( 2 \sqrt{2 t} + 1 \right) - \sqrt{2 t} = \sqrt{2 t} + 1$ 인 정사각형이므로 단면의 넓이 $S \left( t \right)$는 $S \left( t \right)$$\displaystyle = \left( \sqrt{2 t} + 1 \right) ^{2}$ $\displaystyle = 2 t + 2 \sqrt{2 t} + 1$ 구하는 입체도형의 부피 $V$는 $V$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} {\left( 2 t + 2 \sqrt{2 t} + 1 \right) dt}$ $\displaystyle = \left[ t ^{2} + \frac{4 \sqrt{2}}{3} t \sqrt{t} + t \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle = \left( 4 + \frac{16}{3} + 2 \right) - 0$ $\displaystyle = \frac{34}{3}$ 따라서 $30 V = 340$