정사각형 닮음 급수

그림과 같이 한 변의 길이가 6인 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D$에서 선분 $A _{1} D$를 $1 : 2$로 내분하는 점을 $E _{1}$이라 하고, 세 점 $B _{1}$, $C _{1}$, $E _{1}$을 지나는 원의 중심을 $O _{1}$이라 하자. 삼각형 $E _{1} B _{1} C _{1}$의 내부와 삼각형 $O _{1} B _{1} C _{1}$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 선분 $\mathrm{E} _{1} D$ 위의 점 $\mathrm{A} _{2}$, 선분 $\mathrm{E} {} _{1} {\mathrm{C}} _{1}$ 위의 점 $\mathrm{B} _{2}$, 선분 $\mathrm{C} _{1} D$ 위의 점 $\ C _{2}$와 점 $\mathrm{D}$를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B {} _{2} {\mathrm{C}} _{2} D$를 그린다. 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B {} _{2} {\mathrm{C}} _{2} D$에서 선분 $\mathrm{A} _{2} D$를 $1 : 2$로 내분하는 점을 $\mathrm{E} _{2}$라 하고, 세 점 $\mathrm{B} _{2}$,$C _{2}$,$E _{2}$를 지나는 원의 중심을 $\ O _{2}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{E} _{2} B {} _{2} {\mathrm{C}} _{2}$의 내부와 삼각형 $\mathrm{O} _{2} B {} _{2} {\mathrm{C}} _{2}$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{90}{7}$②$\displaystyle \frac{275}{21}$③$\displaystyle \frac{40}{3}$④$\displaystyle \frac{95}{7}$⑤$\displaystyle \frac{290}{21}$